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01复数★☆☆☆☆
设 i\mathrm{i} 是虚数单位，复数 1+ai2−i\frac{1 + a\mathrm{i}}{2 - \mathrm{i}} 为纯虚数，则实数 aa 为（ ）
A.
22
B.
−2-2
C.
−12-\frac{1}{2}
D.
12\frac{1}{2}

2011 · 安徽 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★☆☆☆☆
双曲线 2x2−y2=82x^{2} - y^{2} = 8 的实轴长是（ ）
A.
22
B.
222\sqrt{2}
C.
44
D.
424\sqrt{2}

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03函数与初等函数★☆☆☆☆
设 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数，当 x⩽0x \leqslant 0 时，f(x)=2x2−xf(x) = 2x^2 - x，则 f(1)=f(1) =（ ）
A.
−3-3
B.
−1-1
C.
11
D.
33

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04不等式★★☆☆☆
设变量 xx，yy 满足 ∣x∣+∣y∣⩽1|x| + |y| \leqslant 1，则 x+2yx + 2y 的最大值和最小值分别为（ ）
A.
11，−1-1
B.
22，−2-2
C.
11，−2-2
D.
22，−1-1

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05解析几何★★☆☆☆
在极坐标系中，点 (2,π3)\left(2, \frac{\pi}{3}\right) 到圆 ρ=2cos⁡θ\rho = 2\cos \theta 的圆心的距离为（ ）
A.
22
B.
4+π29\sqrt{4 + \frac{\pi^2}{9}}
C.
1+π29\sqrt{1 + \frac{\pi^2}{9}}
D.
3\sqrt{3}

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06立体几何初步★★☆☆☆
一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A.
4848
B.
32+81732 + 8\sqrt{17}
C.
48+81748 + 8\sqrt{17}
D.
8080

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07集合与逻辑基础★☆☆☆☆
命题“所有能被 22 整除的整数都是偶数”的否定是（ ）
A.
所有不能被 22 整除的整数都是偶数
B.
所有能被 22 整除的整数都不是偶数
C.
存在一个不能被 22 整除的整数是偶数
D.
存在一个能被 22 整除的整数不是偶数

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08集合与逻辑基础★★★☆☆
设集合 A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}，B={4,5,6,7,8}B = \{4, 5, 6, 7, 8\}，则满足 S⊆AS \subseteq A 且 S∩B≠∅S \cap B \neq \varnothing 的集合 SS 的个数是（ ）
A.
5757
B.
5656
C.
4949
D.
88

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09三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(2x+φ)f(x) = \sin (2x + \varphi)，其中 φ\varphi 为实数，若 f(x)⩽∣f(π6)∣f(x) \leqslant \left|f\left(\frac{\pi}{6}\right)\right| 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，且 f(π2)>f(π)f\left(\frac{\pi}{2}\right) > f(\pi)，则 f(x)f(x) 的单调递增区间是（ ）
A.
[kπ−π3,kπ+π6]\left[k\pi - \frac{\pi}{3}, k\pi + \frac{\pi}{6}\right]（k∈Zk \in \mathbf{Z}）
B.
[kπ,kπ+π2]\left[k\pi, k\pi + \frac{\pi}{2}\right]（k∈Zk \in \mathbf{Z}）
C.
[kπ+π6,kπ+2π3]\left[k\pi + \frac{\pi}{6}, k\pi + \frac{2\pi}{3}\right]（k∈Zk \in \mathbf{Z}）
D.
[kπ−π2,kπ]\left[k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi\right]（k∈Zk \in \mathbf{Z}）

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10导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=axm(1−x)nf(x) = ax^{m}(1 - x)^n 在区间 [0,1][0,1] 上的图象如图所示，则 mm，nn 的值可能是（ ）
A.
m=1m = 1，n=1n = 1
B.
m=1m = 1，n=2n = 2
C.
m=2m = 2，n=1n = 1
D.
m=3m = 3，n=1n = 1

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11数列★★☆☆☆
如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是______.

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
设 (x−1)21=a0+a1x+a2x2+⋯+a21x21(x - 1)^{21} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{21}x^{21}，则 a10+a11=‾a_{10} + a_{11} =\underline{\hspace{2em}}.

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13平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 (a+2b)⋅(a−b)=−6(\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = -6，且 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}| = 1，∣b∣=2|\boldsymbol{b}| = 2，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为______.

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14三角函数★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的一个内角为 120∘120^{\circ}，并且三边长构成公差为 44 的等差数列，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______.

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15解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系中，如果 xx 与 yy 都是整数，就称点 (x,y)(x, y) 为整点，下列命题中正确的是______. （写出所有正确命题的编号）
① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ② 如果 kk 与 bb 都是无理数，则直线 y=kx+by = kx + b 不经过任何整点； ③ 直线 ll 经过无穷多个整点，当且仅当 ll 经过两个不同的整点； ④ 直线 y=kx+by = kx + b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：kk 与 bb 都是有理数； ⑤ 存在恰经过一个整点的直线.

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16导数及其应用★★★★☆
设 f(x)=ex1+ax2f(x) = \frac{\mathrm{e}^x}{1 + ax^2}，其中 aa 为正实数.
(1) 当 a=43a=\frac{4}{3} 时，求 f(x)f(x) 的极值点； (2) 若 f(x)f(x) 为 R\mathbf{R} 上的单调函数，求 aa 的取值范围.

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，ABEDFCABEDFC 为多面体，平面 ABEDABED 与平面 ACFDACFD 垂直，点 OO 在线段 ADAD 上，OA=1OA = 1，OD=2OD = 2，△OAB\triangle OAB，△OAC\triangle OAC，△ODE\triangle ODE，△ODF\triangle ODF 都是正三角形.
(1) 证明直线 BC∥EFBC \parallel EF； (2) 求棱锥 F−OBEDF-OBED 的体积.

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18数列★★★★☆
在数 11 和 100100 之间插入 nn 个实数，使得这 n+2n + 2 个数构成递增的等比数列，将这 n+2n + 2 个数的乘积记作 TnT_{n}，再令 an=lg⁡Tna_{n} = \lg T_{n}，n⩾1n \geqslant 1.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 bn=tan⁡an⋅tan⁡an+1b_{n} = \tan a_{n} \cdot \tan a_{n+1}，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

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19不等式★★★★☆
(1) 设 x⩾1x \geqslant 1，y⩾1y \geqslant 1，证明 x+y+1xy⩽1x+1y+xyx + y + \frac{1}{xy} \leqslant \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + xy； (2) 1<a⩽b⩽c1 < a \leqslant b \leqslant c，证明 log⁡ab+log⁡bc+log⁡ca⩽log⁡ba+log⁡cb+log⁡ac\log_{a} b + \log_{b} c + \log_{c} a \leqslant \log_{b} a + \log_{c} b + \log_{a} c.

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20概率与统计★★★★☆
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过 1010 分钟，如果前一个人 1010 分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人. 现在一共只有甲，乙，丙三个人可派. 他们各自能完成任务的概率分别 p1p_{1}，p2p_{2}，p3p_{3}. 假设 p1p_{1}，p2p_{2}，p3p_{3} 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
(1) 如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率. 若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？ (2) 若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为 q1q_{1}，q2q_{2}，q3q_{3}，其中 q1q_{1}，q2q_{2}，q3q_{3} 是 p1p_{1}，p2p_{2}，p3p_{3} 的一个排列. 求所需派出人员数目 XX 的分布列和均值（数学期望）E(X)E(X)； (3) 假定 1>p1>p2>p31 > p_{1} > p_{2} > p_{3}，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小.

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21解析几何★★★☆☆
设 λ>0\lambda > 0，点 AA 的坐标为 (1,1)(1,1)，点 BB 在抛物线 y=x2y = x^2 上运动，点 QQ 满足 BQ→=λQA→\overrightarrow{BQ} = \lambda \overrightarrow{QA}，经过点 QQ 与 xx 轴垂直的直线交抛物线于点 MM，点 PP 满足 QM→=λMP→\overrightarrow{QM} = \lambda \overrightarrow{MP}，求点 PP 的轨迹方程.

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