如果 $0<a<1$，$0<x\leqslant y<1$，且 $\log_a x\log_a y=1$，那么 $xy$（$\quad$）

设 $\mathrm{i}$ 是虚数单位，复数 $z$ 和 $\omega$ 满足 $z\omega+2\mathrm{i} z-2\mathrm{i}\omega+1=0$.

(1) 如果 $z$ 和 $\omega$ 又满足 $\overline{\omega}-z=2\mathrm{i}$，求 $z$ 和 $\omega$ 的值； (2) 求证：如果 $\left| z \right|=\sqrt{3}$，那么 $\left| \omega-4\mathrm{i} \right|$ 的值是一个常数，并求出这个常数.

已知实数 $a>0$，函数 $f(x)=x^2\log_4 a$.

(1) 如果方程 $f(x-1)+2x=0$ 无实根，求 $a$ 的取值范围； (2) 如果 $a=4$，在抛物线 $y=f\left( \frac{x}{2} \right)$ 上有两点 $A(x_1,y_1)$ 和 $B(x_2,y_2)$ 满足 $\left| AB \right|=y_1+y_2+2$，求证：点 $A$，$B$ 和这抛物线的焦点三点共线.

设圆 $C$ 的方程为 $x^2+y^2-2x\left( \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta} \right)-2y\tan \frac{\theta}{2}+\left( \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta} \right)^2=0$，式中 $\theta$ 是实数，且 $0<\theta<\pi$.

(1) 当 $\theta$ 在区间 $(0,\pi)$ 内变动时，求圆 $C$ 的圆心轨迹的方程（写成普通形式），并画出轨迹曲线的草图； (2) 又设 $\theta_1$，$\theta_2$，$\theta_3$ 都是区间 $(0,\pi)$ 内的实数，且 $\theta_1$，$\theta_2$，$\theta_3$ 成为公差不为零的等差数列，当 $\theta$ 依次取值 $\theta_1$，$\theta_2$ 或 $\theta_3$ 时，所对应的圆 $C$ 的半径依次为 $r_1$，$r_2$ 和 $r_3$，试问：$r_1$，$r_2$，$r_3$ 是否成等比数列？为什么？