设定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 是最小正周期为 $2\pi$ 的偶函数，$f'(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数. 当 $x \in [0, \pi]$ 时，$0 < f(x) < 1$；当 $x \in (0, \pi)$ 且 $x \neq \frac{\pi}{2}$ 时，$\left(x - \frac{\pi}{2}\right)f'(x) > 0$，则函数 $y = f(x) - \sin x$ 在 $[-2\pi, 2\pi]$ 上的零点个数为（ ）

某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为 $29^{\circ} \mathrm{C} \sim 63^{\circ} \mathrm{C}$，精确度要求 $\pm 1^{\circ} \mathrm{C}$. 用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为______.

某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产. 该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 $50\%$，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同. 公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 $d$ 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产. 设第 $n$ 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 $a_{n}$ 万元.

(1) 用 $d$ 表示 $a_{1}$，$a_{2}$，并写出 $\{a_{n+1}\}$ 与 $a_{n}$ 的关系式； (2) 若公司希望经过 $m$ 年（$m \geqslant 3$）使企业的剩余资金为 $4000$ 万元，试确定企业每年上缴资金 $d$ 的值（用 $m$ 表示）.

在直角坐标系 $xOy$ 中，已知中心在原点，离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆 $E$ 的一个焦点为圆 $C: x^2 + y^2 - 4x + 2 = 0$ 的圆心.

(1) 求椭圆 $E$ 的方程； (2) 设 $P$ 是椭圆 $E$ 上一点，过 $P$ 作两条斜率之积为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $l_{1}$，$l_{2}$，当直线 $l_{1}$，$l_{2}$ 都与圆 $C$ 相切时，求 $P$ 的坐标.

已知函数 $f(x) = \mathrm{e}^{x} - ax$，其中 $a > 0$.

(1) 若对一切 $x \in \mathbf{R}$，$f(x) \geqslant 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值集合； (2) 在函数 $f(x)$ 的图象上取定两点 $A(x_{1}, f(x_{1}))$，$B(x_{2}, f(x_{2}))$（$x_{1} < x_{2}$），记直线 $AB$ 的斜率为 $k$，证明：存在 $x_{0} \in (x_{1}, x_{2})$，使 $f'(x_{0}) = k$ 成立.