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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 M={−1,0,1}M = \{-1, 0, 1\}，N={x∣x2=x}N = \{x \mid x^2 = x\}，则 M∩N=M \cap N =（ ）
A.
{−1,0,1}\{-1,0,1\}
B.
{0,1}\{0, 1\}
C.
{1}\{1\}
D.
{0}\{0\}

2012 · 湖南 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
复数 z=i(i+1)z = \mathrm{i}(\mathrm{i} + 1)（i\mathrm{i} 为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A.
−1−i-1 - \mathrm{i}
B.
−1+i-1 + \mathrm{i}
C.
1−i1 - \mathrm{i}
D.
1+i1 + \mathrm{i}

2012 · 湖南 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★☆☆☆☆
命题“若 α=π4\alpha = \frac{\pi}{4}，则 tan⁡α=1\tan \alpha = 1”的逆否命题是（ ）
A.
若 α≠π4\alpha \neq \frac{\pi}{4}，则 tan⁡α≠1\tan \alpha \neq 1
B.
若 α=π4\alpha = \frac{\pi}{4}，则 tan⁡α≠1\tan \alpha \neq 1
C.
若 tan⁡α≠1\tan \alpha \neq 1，则 α≠π4\alpha \neq \frac{\pi}{4}
D.
若 tan⁡α≠1\tan \alpha \neq 1，则 α=π4\alpha = \frac{\pi}{4}

2012 · 湖南 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★☆☆☆
某几何体的正视图和侧视图均如下图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
A.
B.
C.
D.

2012 · 湖南 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05概率与统计★☆☆☆☆
设某大学的女生体重 yy （单位： kg\mathrm{kg}） 与身高 xx （单位： cm\mathrm{cm}） 具有线性相关关系，根据一组样本数据 (xi,yi)(x_i, y_i)（i=1i = 1，22，⋯\cdots，nn），用最小二乘法建立的回归方程为 y^=0.85x−85.71\hat{y} = 0.85x - 85.71，则下列结论中不正确的是（ ）
A.
yy 与 xx 具有正的线性相关关系
B.
回归直线过样本点的中心（x‾\overline{x}，y‾\overline{y}）
C.
若该大学某女生身高增加 1 cm1 \mathrm{~cm}，则其体重约增加 0.85 kg0.85 \mathrm{~kg}
D.
若该大学某女生身高为 170 cm170 \mathrm{~cm}，则可断定其体重必为 58.79 kg58.79 \mathrm{~kg}

2012 · 湖南 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 的焦距为 10，点 P(2,1)P(2,1) 在 CC 的渐近线上，则 CC 的方程为（ ）
A.
x220−y25=1\frac{x^2}{20} -\frac{y^2}{5} = 1
B.
x25−y220=1\frac{x^2}{5} -\frac{y^2}{20} = 1
C.
x280−y220=1\frac{x^2}{80} -\frac{y^2}{20} = 1
D.
x220−y280=1\frac{x^2}{20} -\frac{y^2}{80} = 1

2012 · 湖南 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
设 a>b>1a > b > 1，c<0c < 0，给出下列三个结论：
① ca>cb\frac{c}{a} > \frac{c}{b}； ② ac<bca^{c} < b^{c}； ③ log⁡b(a−c)>log⁡a(b−c)\log_{b}(a - c) > \log_{a}(b - c).
其中所有正确结论的序号是（ ）
A.
①
B.
①②
C.
②③
D.
①②③

2012 · 湖南 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AC=7AC = \sqrt{7}，BC=2BC = 2，B=60∘B = 60^{\circ}，则 BCBC 边上的高等于（ ）
A.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
B.
332\frac{3\sqrt{3}}{2}
C.
3+62\frac{\sqrt{3} + \sqrt{6}}{2}
D.
3+394\frac{\sqrt{3} + \sqrt{39}}{4}

2012 · 湖南 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★★☆
设定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)f(x) 是最小正周期为 2π2\pi 的偶函数，f′(x)f'(x) 是 f(x)f(x) 的导函数. 当 x∈[0,π]x \in [0, \pi] 时，0<f(x)<10 < f(x) < 1；当 x∈(0,π)x \in (0, \pi) 且 x≠π2x \neq \frac{\pi}{2} 时，(x−π2)f′(x)>0\left(x - \frac{\pi}{2}\right)f'(x) > 0，则函数 y=f(x)−sin⁡xy = f(x) - \sin x 在 [−2π,2π][-2\pi, 2\pi] 上的零点个数为（ ）
A.
22
B.
44
C.
55
D.
88

2012 · 湖南 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★☆☆☆
在极坐标系中，曲线 C1:ρ(2cos⁡θ+sin⁡θ)=1C_{1}: \rho (\sqrt{2} \cos \theta + \sin \theta) = 1 与曲线 C2:ρ=aC_{2}: \rho = a （a>0a > 0） 的一个交点在极轴上，则 a=‾a =\underline{\hspace{2em}}.

2012 · 湖南 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★★★☆
某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为 29∘C∼63∘C29^{\circ} \mathrm{C} \sim 63^{\circ} \mathrm{C}，精确度要求 ±1∘C\pm 1^{\circ} \mathrm{C}. 用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为______.

2012 · 湖南 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12不等式★☆☆☆☆
不等式 x2−5x+6⩽0x^{2} - 5x + 6 \leqslant 0 的解集为______.

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13概率与统计★☆☆☆☆
如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为______.
008899
11003355
（注：方差 s2=1n[(x1−x‾)2+(x2−x‾)2+⋯+(xn−x‾)2]s^{2}=\frac{1}{n}\left[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+\cdots+(x_{n}-\overline{x})^{2}\right]，其中 x‾\overline{x} 为 x1x_{1}，x2x_{2}，⋯\cdots，xnx_{n} 的平均数）

2012 · 湖南 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
如果执行如图所示的程序框图，输入 x=4.5x = 4.5，则输出的数 i=‾i =\underline{\hspace{2em}}.

2012 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15平面向量★★☆☆☆
如图，在平行四边形 ABCDABCD 中，AP⊥BDAP \perp BD，垂足为 PP，且 AP=3AP = 3，则 AP→⋅AC→=\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AC} =______.

2012 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16数列★★★☆☆
对于 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，将 nn 表示为 n=ak×2k+ak−1×2k−1+⋯+a1×21+a0×20n = a_k \times 2^k + a_{k-1} \times 2^{k-1} + \cdots + a_1 \times 2^1 + a_0 \times 2^0，当 i=ki = k 时，ai=1a_i = 1，当 0⩽i⩽k−10 \leqslant i \leqslant k - 1 时，aia_i 为 0 或 1. 定义 bnb_n 如下：在 nn 的上述表示中，当 a0a_0，a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，aka_k 中等于 1 的个数为奇数时，bn=1b_n = 1；否则 bn=0b_n = 0.
(1) b2+b4+b6+b8=‾b_{2}+b_{4}+b_{6}+b_{8}=\underline{\hspace{2em}}； (2) 记 cmc_{m} 为数列 {bn}\{b_{n}\} 中第 mm 个为 0 的项与第 m+1m + 1 个为 0 的项之间的项数，则 cmc_{m} 的最大值是______.

2012 · 湖南 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17概率与统计★★☆☆☆
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量1 至 41\text{\ 至\ }4件5 至 85\text{\ 至\ }8件9 至 129\text{\ 至\ }12件13 至 1613\text{\ 至\ }16件1717件及以上
已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.
(1) 确定 xx，yy 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2) 求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率. （将频率视为概率）

2012 · 湖南 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=Asin⁡(ωx+φ)f(x) = A \sin (\omega x + \varphi) （x∈Rx \in \mathbf{R}，ω>0\omega > 0，0<φ<π20 < \varphi < \tfrac{\pi}{2}）的部分图象如图所示.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 求函数 g(x)=f(x−π12)−f(x+π12)g(x)=f\left(x-\frac{\pi}{12}\right)-f\left(x+\frac{\pi}{12}\right) 的单调递增区间.

2012 · 湖南 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥PA \perp 平面 ABCDABCD，底面 ABCDABCD 是等腰梯形，AD∥BCAD\parallel BC，AC⊥BDAC \perp BD.
(1) 证明： BD⊥PCBD \perp PC； (2) 若 AD=4AD=4，BC=2BC=2，直线 PDPD 与平面 PACPAC 所成的角为 30∘30^{\circ}，求四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的体积.

2012 · 湖南 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产. 该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 50%50\%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同. 公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 dd 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产. 设第 nn 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 ana_{n} 万元.
(1) 用 dd 表示 a1a_{1}，a2a_{2}，并写出 {an+1}\{a_{n+1}\} 与 ana_{n} 的关系式； (2) 若公司希望经过 mm 年（m⩾3m \geqslant 3）使企业的剩余资金为 40004000 万元，试确定企业每年上缴资金 dd 的值（用 mm 表示）.

2012 · 湖南 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，已知中心在原点，离心率为 12\frac{1}{2} 的椭圆 EE 的一个焦点为圆 C:x2+y2−4x+2=0C: x^2 + y^2 - 4x + 2 = 0 的圆心.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 设 PP 是椭圆 EE 上一点，过 PP 作两条斜率之积为 12\frac{1}{2} 的直线 l1l_{1}，l2l_{2}，当直线 l1l_{1}，l2l_{2} 都与圆 CC 相切时，求 PP 的坐标.

2012 · 湖南 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−axf(x) = \mathrm{e}^{x} - ax，其中 a>0a > 0.
(1) 若对一切 x∈Rx \in \mathbf{R}，f(x)⩾1f(x) \geqslant 1 恒成立，求 aa 的取值集合； (2) 在函数 f(x)f(x) 的图象上取定两点 A(x1,f(x1))A(x_{1}, f(x_{1}))，B(x2,f(x2))B(x_{2}, f(x_{2}))（x1<x2x_{1} < x_{2}），记直线 ABAB 的斜率为 kk，证明：存在 x0∈(x1,x2)x_{0} \in (x_{1}, x_{2})，使 f′(x0)=kf'(x_{0}) = k 成立.

2012 · 湖南 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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