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05计数原理与组合数学★★★★☆
在 (1+x)n(1 + x)^n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）的二项展开式中，只有其 x5x^5 的系数最大，则 n=n =（ ）
A.
88
B.
99
C.
1010
D.
1111

2007 · 湖南 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
函数
f(x)={4x−4,x⩽1,x2−4x+3,x>1,f(x) = \begin{cases} 4x - 4, & x \leqslant 1, \\ x^2 - 4x + 3, & x > 1, \end{cases}
的图象和函数 g(x)=log⁡2xg(x) = \log_2 x 的图象的交点个数是（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2007 · 湖南 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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10集合与逻辑基础★★★★☆
设集合 M={1,2,3,4,5,6}M = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}，S1S_1，S2S_2，⋯\cdots，SkS_k 都是 MM 的含两个元素的子集，且满足：对任意的 Si={ai,bi}S_i = \{a_i, b_i\}，Sj={aj,bj}S_j = \{a_j, b_j\}（i≠ji \neq j，ii，j∈{1,2,3,⋯ ,k}j \in \{1, 2, 3, \cdots, k\}），都有 min⁡{aibi,biai}≠min⁡{ajbj,bjaj}\min \left\{\frac{a_i}{b_i}, \frac{b_i}{a_i}\right\} \neq \min \left\{\frac{a_j}{b_j}, \frac{b_j}{a_j}\right\}（min⁡{x,y}\min \{x, y\} 表示两个数 xx，yy 中的较小者）. 则 kk 的最大值是（ ）
A.
1010
B.
1111
C.
1212
D.
1313

2007 · 湖南 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，已知直二面角 α−PQ−β\alpha - PQ - \beta，A∈PQA \in PQ，B∈αB \in \alpha，C∈βC \in \beta，CA=CBCA = CB，∠BAP=45∘\angle BAP = 45^{\circ}，直线 CACA 和平面 α\alpha 所成的角为 30∘30^{\circ}.
(1) 证明：BC⊥PQBC \perp PQ； (2) 求二面角 B−AC−PB - AC - P 的大小.

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19解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2−y2=2x^{2} - y^{2} = 2 的右焦点为 FF，过点 FF 的动直线与双曲线相交于 AA，BB 两点，点 CC 的坐标是 (1,0)(1, 0).
(1) 证明：CA→⋅CB→\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} 为常数； (2) 若动点 MM 满足 CM→=CA→+CB→+CO→\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CO}（其中 OO 为坐标原点），求点 MM 的轨迹方程.

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20数列★★★★☆
设 SnS_{n} 是数列 {an}\{a_{n}\}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）的前 nn 项和，a1=aa_{1} = a，且 Sn2=3n2an+Sn−12S_{n}^{2} = 3n^{2}a_{n} + S_{n-1}^{2}，an≠0a_{n} \neq 0，n=2n = 2，33，44，⋯\cdots.
(1) 证明：数列 {an+2−an}\{a_{n+2} - a_n\}（n⩾2n \geqslant 2）是常数数列； (2) 试找出一个奇数 aa，使以 1818 为首项，77 为公比的等比数列 {bn}\{b_n\}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）中的所有项都是数列 {an}\{a_n\} 中的项，并指出 bnb_n 是数列 {an}\{a_n\} 中的第几项.

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=13x3+12ax2+bxf(x) = \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{2} ax^2 + bx 在区间 [−1,1)[-1, 1)，(1,3](1, 3] 内各有一个极值点.
(1) 求 a2−4ba^2 - 4b 的最大值； (2) 当 a2−4b=8a^2 - 4b = 8 时，设函数 y=f(x)y = f(x) 在点 A(1,f(1))A(1, f(1)) 处的切线为 ll. 若 ll 在点 AA 处穿过 y=f(x)y = f(x) 的图象（即动点在点 AA 附近沿曲线 y=f(x)y = f(x) 运动，经过点 AA 时，从 ll 的一侧进入另一侧），求函数 f(x)f(x) 的表达式.

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