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01不等式★☆☆☆☆
不等式 x2>xx^{2} > x 的解集是（ ）
A.
(−∞,0)(-\infty, 0)
B.
(0,1)(0, 1)
C.
(1,+∞)(1, +\infty)
D.
(−∞,0)∪(1,+∞)(-\infty, 0) \cup (1, +\infty)

2007 · 湖南 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02平面向量★☆☆☆☆
若 OO，EE，FF 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）
A.
EF→=OF→+OE→\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{OF} +\overrightarrow{OE}
B.
EF→=OF→−OE→\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{OF} -\overrightarrow{OE}
C.
EF→=−OF→+OE→\overrightarrow{EF} = -\overrightarrow{OF} +\overrightarrow{OE}
D.
EF→=−OF→−OE→\overrightarrow{EF} = -\overrightarrow{OF} -\overrightarrow{OE}

2007 · 湖南 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设 pp：b2−4ac>0b^2 - 4ac > 0（a≠0a \neq 0），qq：关于 xx 的方程 ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0（a≠0a \neq 0）有实根，则 pp 是 qq 的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2007 · 湖南 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04数列★★☆☆☆
在等比数列 {an}\{a_{n}\}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）中，若 a1=1a_{1} = 1，a4=18a_{4} = \frac{1}{8}，则该数列的前 1010 项和为（ ）
A.
2−1282 - \frac{1}{2^8}
B.
2−1292 - \frac{1}{2^9}
C.
2−12102 - \frac{1}{2^{10}}
D.
2−12112 - \frac{1}{2^{11}}

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05计数原理与组合数学★★★★☆
在 (1+x)n(1 + x)^n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）的二项展开式中，只有其 x5x^5 的系数最大，则 n=n =（ ）
A.
88
B.
99
C.
1010
D.
1111

2007 · 湖南 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★★☆☆
如图，在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE，FF 分别是 AB1AB_{1}，BC1BC_{1} 的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A.
EFEF 与 BB1BB_{1} 垂直
B.
EFEF 与 BDBD 垂直
C.
EFEF 与 CDCD 异面
D.
EFEF 与 A1C1A_{1}C_{1} 异面

2007 · 湖南 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07概率与统计★★☆☆☆
根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图），从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ）
A.
48 米48\text{ 米}
B.
49 米49\text{ 米}
C.
50 米50\text{ 米}
D.
51 米51\text{ 米}

2007 · 湖南 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
函数
f(x)={4x−4,x⩽1,x2−4x+3,x>1,f(x) = \begin{cases} 4x - 4, & x \leqslant 1, \\ x^2 - 4x + 3, & x > 1, \end{cases}
的图象和函数 g(x)=log⁡2xg(x) = \log_2 x 的图象的交点个数是（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2007 · 湖南 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★★☆☆
设 F1F_{1}，F2F_{2} 分别是椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>b>1a > b > 1）的左，右焦点，PP 是其右准线上纵坐标为 3c\sqrt{3} c（cc 为半焦距）的点，且 ∣F1F2∣=∣F2P∣|F_{1}F_{2}| = |F_{2}P|，则椭圆的离心率是（ ）
A.
3−12\frac{\sqrt{3} - 1}{2}
B.
12\frac{1}{2}
C.
5−12\frac{\sqrt{5} - 1}{2}
D.
22\frac{\sqrt{2}}{2}

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10集合与逻辑基础★★★★☆
设集合 M={1,2,3,4,5,6}M = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}，S1S_1，S2S_2，⋯\cdots，SkS_k 都是 MM 的含两个元素的子集，且满足：对任意的 Si={ai,bi}S_i = \{a_i, b_i\}，Sj={aj,bj}S_j = \{a_j, b_j\}（i≠ji \neq j，ii，j∈{1,2,3,⋯ ,k}j \in \{1, 2, 3, \cdots, k\}），都有 min⁡{aibi,biai}≠min⁡{ajbj,bjaj}\min \left\{\frac{a_i}{b_i}, \frac{b_i}{a_i}\right\} \neq \min \left\{\frac{a_j}{b_j}, \frac{b_j}{a_j}\right\}（min⁡{x,y}\min \{x, y\} 表示两个数 xx，yy 中的较小者）. 则 kk 的最大值是（ ）
A.
1010
B.
1111
C.
1212
D.
1313

2007 · 湖南 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★☆☆☆
圆心为 (1,1)(1,1) 且与直线 x+y=4x + y = 4 相切的圆的方程是______.

2007 · 湖南 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12三角函数★☆☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，若 a=1a = 1，c=3c = \sqrt{3}，C=π3C = \frac{\pi}{3}，则 A=A =______.

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13指数函数与对数函数★☆☆☆☆
若 a>0a > 0，a23=49a^{\frac{2}{3}} = \frac{4}{9}，则 log⁡23a=\log_{\frac{2}{3}} a =______.

2007 · 湖南 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14集合与逻辑基础★★★☆☆
设集合 A={(x,y)∣y⩾∣x−2∣,x⩾0}A = \{(x, y) \mid y \geqslant |x - 2|, x \geqslant 0\}，B={(x,y)∣y⩽−x+b}B = \{(x, y) \mid y \leqslant -x + b\}，A∩B≠∅A \cap B \neq \emptyset.
(1) bb 的取值范围是______； (2) 若 (x,y)∈A∩B(x, y) \in A \cap B，且 x+2yx + 2y 的最大值为 9，则 bb 的值是______.

2007 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★☆☆☆
棱长为 11 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的 88 个顶点都在球 OO 的表面上，则球 OO 的表面积是______；设 EE，FF 分别是该正方体的棱 AA1AA_{1}，DD1DD_{1} 的中点，则直线 EFEF 被球 OO 截得的线段长为______.

2007 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=1−2sin⁡2(x+π8)+2sin⁡(x+π8)cos⁡(x+π8)f(x) = 1 - 2\sin^2\left(x + \frac{\pi}{8}\right) + 2\sin \left(x + \frac{\pi}{8}\right)\cos \left(x + \frac{\pi}{8}\right). 求：
(1) 函数 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 函数 f(x)f(x) 的单调增区间.

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17概率与统计★★★☆☆
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力. 每名下岗人员可以选择参加一项培训，参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有 60%60\%，参加过计算机培训的有 75%75\%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.
(1) 任选 11 名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (2) 任选 33 名下岗人员，求这 33 人中至少有 22 人参加过培训的概率.

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18立体几何初步★★★★☆
如图，已知直二面角 α−PQ−β\alpha - PQ - \beta，A∈PQA \in PQ，B∈αB \in \alpha，C∈βC \in \beta，CA=CBCA = CB，∠BAP=45∘\angle BAP = 45^{\circ}，直线 CACA 和平面 α\alpha 所成的角为 30∘30^{\circ}.
(1) 证明：BC⊥PQBC \perp PQ； (2) 求二面角 B−AC−PB - AC - P 的大小.

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19解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2−y2=2x^{2} - y^{2} = 2 的右焦点为 FF，过点 FF 的动直线与双曲线相交于 AA，BB 两点，点 CC 的坐标是 (1,0)(1, 0).
(1) 证明：CA→⋅CB→\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} 为常数； (2) 若动点 MM 满足 CM→=CA→+CB→+CO→\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CO}（其中 OO 为坐标原点），求点 MM 的轨迹方程.

2007 · 湖南 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
设 SnS_{n} 是数列 {an}\{a_{n}\}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）的前 nn 项和，a1=aa_{1} = a，且 Sn2=3n2an+Sn−12S_{n}^{2} = 3n^{2}a_{n} + S_{n-1}^{2}，an≠0a_{n} \neq 0，n=2n = 2，33，44，⋯\cdots.
(1) 证明：数列 {an+2−an}\{a_{n+2} - a_n\}（n⩾2n \geqslant 2）是常数数列； (2) 试找出一个奇数 aa，使以 1818 为首项，77 为公比的等比数列 {bn}\{b_n\}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）中的所有项都是数列 {an}\{a_n\} 中的项，并指出 bnb_n 是数列 {an}\{a_n\} 中的第几项.

2007 · 湖南 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=13x3+12ax2+bxf(x) = \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{2} ax^2 + bx 在区间 [−1,1)[-1, 1)，(1,3](1, 3] 内各有一个极值点.
(1) 求 a2−4ba^2 - 4b 的最大值； (2) 当 a2−4b=8a^2 - 4b = 8 时，设函数 y=f(x)y = f(x) 在点 A(1,f(1))A(1, f(1)) 处的切线为 ll. 若 ll 在点 AA 处穿过 y=f(x)y = f(x) 的图象（即动点在点 AA 附近沿曲线 y=f(x)y = f(x) 运动，经过点 AA 时，从 ll 的一侧进入另一侧），求函数 f(x)f(x) 的表达式.

2007 · 湖南 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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