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17
函数与初等函数
★★★★☆
a
a
a
为实数，函数
f
(
x
)
=
∣
x
2
−
a
x
∣
f(x)=|x^2-ax|
f
(
x
)
=
∣
x
2
−
a
x
∣
在区间
[
0
,
1
]
[0,1]
[
0
,
1
]
上的最大值记为
g
(
a
)
g(a)
g
(
a
)
. 当
a
=
a=
a
=
______ 时，
g
(
a
)
g(a)
g
(
a
)
的值最小.
2015 · 湖北 · 文 · 第 17 题 · 填空题
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21
函数与初等函数
★★★★☆
设函数
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
，
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
的定义域均为
R
\mathbf{R}
R
，且
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
是奇函数，
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
是偶函数，
f
(
x
)
+
g
(
x
)
=
e
x
f(x)+g(x)=\mathrm{e}^x
f
(
x
)
+
g
(
x
)
=
e
x
，其中
e
\mathrm{e}
e
为自然对数的底数.
(1) 求
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
，
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
的解析式，并证明：当
x
>
0
x>0
x
>
0
时，
f
(
x
)
>
0
f(x)>0
f
(
x
)
>
0
，
g
(
x
)
>
1
g(x)>1
g
(
x
)
>
1
； (2) 设
a
⩽
0
a\leqslant 0
a
⩽
0
，
b
⩾
1
b\geqslant 1
b
⩾
1
，证明：当
x
>
0
x>0
x
>
0
时，
a
g
(
x
)
+
(
1
−
a
)
<
f
(
x
)
x
<
b
g
(
x
)
+
(
1
−
b
)
ag(x)+(1-a)<\dfrac{f(x)}{x}<bg(x)+(1-b)
a
g
(
x
)
+
(
1
−
a
)
<
x
f
(
x
)
<
b
g
(
x
)
+
(
1
−
b
)
.
2015 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题
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