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01复数★☆☆☆☆
i\mathrm{i} 为虚数单位，i607=\mathrm{i}^{607}=（ ）
A.
i\mathrm{i}
B.
−i-\mathrm{i}
C.
11
D.
−1-1

2015 · 湖北 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02概率与统计★☆☆☆☆
我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石1534\text{ 石}，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒254\text{ 粒} 内夹谷 28 粒28\text{ 粒}，则这批米内夹谷约为（ ）
A.
134 石134\text{ 石}
B.
169 石169\text{ 石}
C.
338 石338\text{ 石}
D.
1365 石1365\text{ 石}

2015 · 湖北 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★☆☆☆☆
命题“∃x0∈(0,+∞)\exists x_0\in (0,+\infty)，ln⁡x0=x0−1\ln x_0=x_0-1”的否定是（ ）
A.
∃x0∈(0,+∞)\exists x_0\in (0,+\infty)，ln⁡x0≠x0−1\ln x_0\neq x_0-1
B.
∃x0∉(0,+∞)\exists x_0\notin (0,+\infty)，ln⁡x0=x0−1\ln x_0=x_0-1
C.
∀x∈(0,+∞)\forall x\in (0,+\infty)，ln⁡x≠x−1\ln x\neq x-1
D.
∀x∉(0,+∞)\forall x\notin (0,+\infty)，ln⁡x=x−1\ln x=x-1

2015 · 湖北 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04概率与统计★☆☆☆☆
已知变量 xx 和 yy 满足关系 y=−0.1x+1y=-0.1x+1，变量 yy 与 zz 正相关. 下列结论中正确的是（ ）
A.
xx 与 yy 正相关，xx 与 zz 负相关
B.
xx 与 yy 正相关，xx 与 zz 正相关
C.
xx 与 yy 负相关，xx 与 zz 负相关
D.
xx 与 yy 负相关，xx 与 zz 正相关

2015 · 湖北 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05集合与逻辑基础★☆☆☆☆
l1l_1，l2l_2 表示空间中的两条直线，若 pp：l1l_1，l2l_2 是异面直线；qq：l1l_1，l2l_2 不相交，则（ ）
A.
pp 是 qq 的充分条件，但不是 qq 的必要条件
B.
pp 是 qq 的必要条件，但不是 qq 的充分条件
C.
pp 是 qq 的充分必要条件
D.
pp 既不是 qq 的充分条件，也不是 qq 的必要条件

2015 · 湖北 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=4−∣x∣+lg⁡x2−5x+6x−3f(x)=\sqrt{4-|x|}+\lg\dfrac{x^2-5x+6}{x-3} 的定义域为（ ）
A.
(2,3)(2,3)
B.
(2,4](2,4]
C.
(2,3)∪(3,4](2,3)\cup(3,4]
D.
(−1,3)∪(3,6](-1,3)\cup(3,6]

2015 · 湖北 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
已知符号函数
sgn⁡x={1,x>0,0,x=0,−1,x<0,\operatorname{sgn}x=\begin{cases} 1, & x>0,\\ 0, & x=0,\\ -1, & x<0, \end{cases}
则（ ）
A.
∣x∣=x∣sgn⁡x∣|x|=x|\operatorname{sgn}x|
B.
∣x∣=xsgn⁡∣x∣|x|=x\operatorname{sgn}|x|
C.
∣x∣=∣x∣sgn⁡x|x|=|x|\operatorname{sgn}x
D.
∣x∣=xsgn⁡x|x|=x\operatorname{sgn}x

2015 · 湖北 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08概率与统计★★★☆☆
在区间 [0,1][0,1] 上随机取两个数 xx，yy，记 p1p_1 为事件“x+y⩽12x+y\leqslant \frac{1}{2}”的概率，p2p_2 为事件“xy⩽12xy\leqslant \frac{1}{2}”的概率，则（ ）
A.
p1<p2<12p_1<p_2<\frac{1}{2}
B.
p2<12<p1p_2<\frac{1}{2}<p_1
C.
12<p2<p1\frac{1}{2}<p_2<p_1
D.
p1<12<p2p_1<\frac{1}{2}<p_2

2015 · 湖北 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★★☆☆
将离心率为 e1e_1 的双曲线 C1C_1 的实半轴长 aa 和虚半轴长 bb（a≠ba\neq b）同时增加 mm（m>0m>0）个单位长度，得到离心率为 e2e_2 的双曲线 C2C_2，则（ ）
A.
对任意的 aa，bb，e1>e2e_1>e_2
B.
当 a>ba>b 时，e1>e2e_1>e_2；当 a<ba<b 时，e1<e2e_1<e_2
C.
对任意的 aa，bb，e1<e2e_1<e_2
D.
当 a>ba>b 时，e1<e2e_1<e_2；当 a<ba<b 时，e1>e2e_1>e_2

2015 · 湖北 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10集合与逻辑基础★★★☆☆
已知集合 A={(x,y)∣x2+y2⩽1, x,y∈Z}A=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leqslant 1,\ x,y\in\mathbf{Z}\}，B={(x,y)∣∣x∣⩽2, ∣y∣⩽2, x,y∈Z}B=\{(x,y)\mid |x|\leqslant 2,\ |y|\leqslant 2,\ x,y\in\mathbf{Z}\}，定义集合 A⊕B={(x1+x2,y1+y2)∣(x1,y1)∈A, (x2,y2)∈B}A\oplus B=\{(x_1+x_2,y_1+y_2)\mid (x_1,y_1)\in A,\ (x_2,y_2)\in B\}，则 A⊕BA\oplus B 中元素的个数为（ ）
A.
77
B.
49
C.
45
D.
30

2015 · 湖北 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11平面向量★☆☆☆☆
已知向量 OA→⊥AB→\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{AB}，∣OA→∣=3|\overrightarrow{OA}|=3，则 OA→⋅OB→=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=______.

2015 · 湖北 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{x+y⩽4,x−y⩽2,3x−y⩾0,\begin{cases} x+y\leqslant 4,\\ x-y\leqslant 2,\\ 3x-y\geqslant 0, \end{cases}
则 3x+y3x+y 的最大值是______.

2015 · 湖北 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=2sin⁡xsin⁡(x+π2)−x2f(x)=2\sin x\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)-x^2 的零点个数为______.

2015 · 湖北 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14概率与统计★★☆☆☆
某电子商务公司对 1000010000 名网络购物者 20142014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间 [0.3,0.9][0.3,0.9] 内，其频率分布直方图如图所示.
(1) 直方图中的 a=a=______. (2) 在这些购物者中，消费金额在区间 [0.5,0.9][0.5,0.9] 内的购物者的人数为______.

2015 · 湖北 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 AA 处时测得公路北侧一山顶 DD 在西偏北 30∘30^\circ 的方向上，行驶 600 m600\mathrm{~m} 后到达 BB 处，测得此山顶在西偏北 75∘75^\circ 的方向上，仰角为 30∘30^\circ，则此山的高度 CD=CD=______ m\mathrm{~m}.

2015 · 湖北 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★☆☆
如图，圆 CC 与 xx 轴相切于点 T(1,0)T(1,0)，与 yy 轴正半轴交于两点 AA，BB（BB 在 AA 的上方），且 ∣AB∣=2|AB|=2.
(1) 圆 CC 的标准方程为______. (2) 圆 CC 在点 BB 处的切线在 xx 轴上的截距为______.

2015 · 湖北 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17函数与初等函数★★★★☆
aa 为实数，函数 f(x)=∣x2−ax∣f(x)=|x^2-ax| 在区间 [0,1][0,1] 上的最大值记为 g(a)g(a). 当 a=a=______ 时，g(a)g(a) 的值最小.

2015 · 湖北 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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18三角函数★★★☆☆
某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin⁡(ωx+φ)f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)（ω>0\omega>0，∣φ∣<π2|\varphi|<\frac{\pi}{2}）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1) 请将上表数据补充完整，并直接写出函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 将 y=f(x)y=f(x) 图象上所有点向左平行移动 π6\frac{\pi}{6} 个单位长度，得到 y=g(x)y=g(x) 的图象. 求 y=g(x)y=g(x) 的图象离原点 OO 最近的对称中心.

2015 · 湖北 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
设等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 dd，前 nn 项和为 SnS_n，等比数列 {bn}\{b_n\} 的公比为 qq. 已知 b1=a1b_1=a_1，b2=2b_2=2，q=dq=d，S10=100S_{10}=100.
(1) 求数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 当 d>1d>1 时，记 cn=anbnc_n=\dfrac{a_n}{b_n}，求数列 {cn}\{c_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2015 · 湖北 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★☆☆
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
如图，在阳马 P−ABCDP-ABCD 中，侧棱 PD⊥PD\perp 底面 ABCDABCD，且 PD=CDPD=CD，点 EE 是 PCPC 的中点，连接 DEDE，BDBD，BEBE.
(1) 证明：DE⊥DE\perp 平面 PBCPBC. 试判断四面体 EBCDEBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； (2) 记阳马 P−ABCDP-ABCD 的体积为 V1V_1，四面体 EBCDEBCD 的体积为 V2V_2，求 V1V2\dfrac{V_1}{V_2} 的值.

2015 · 湖北 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的定义域均为 R\mathbf{R}，且 f(x)f(x) 是奇函数，g(x)g(x) 是偶函数，f(x)+g(x)=exf(x)+g(x)=\mathrm{e}^x，其中 e\mathrm{e} 为自然对数的底数.
(1) 求 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的解析式，并证明：当 x>0x>0 时，f(x)>0f(x)>0，g(x)>1g(x)>1； (2) 设 a⩽0a\leqslant 0，b⩾1b\geqslant 1，证明：当 x>0x>0 时，ag(x)+(1−a)<f(x)x<bg(x)+(1−b)ag(x)+(1-a)<\dfrac{f(x)}{x}<bg(x)+(1-b).

2015 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
一种作图工具如左图所示. OO 是滑槽 ABAB 的中点，短杆 ONON 可绕 OO 转动，长杆 MNMN 通过 NN 处铰链与 ONON 连接，MNMN 上的栓子 DD 可沿滑槽 ABAB 滑动，且 DN=ON=1DN=ON=1，MN=3MN=3. 当栓子 DD 在滑槽 ABAB 内作往复运动时，带动 NN 绕 OO 转动一周（DD 不动时，NN 也不动），MM 处的笔尖画出的曲线记为 CC. 以 OO 为原点，ABAB 所在的直线为 xx 轴建立如右图所示的平面直角坐标系.
(1) 求曲线 CC 的方程； (2) 设动直线 ll 与两定直线 l1 ⁣:x−2y=0l_1\colon x-2y=0 和 l2 ⁣:x+2y=0l_2\colon x+2y=0 分别交于 PP，QQ 两点. 若直线 ll 总与曲线 CC 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ\triangle OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.

2015 · 湖北 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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