如图，正三棱锥 $S-ABC$ 的侧面是边长为 $a$ 的正三角形，$D$ 是 $SA$ 的中点，$E$ 是 $BC$ 的中点，求 $\triangle SDE$ 绕直线 $SE$ 旋转一周所得的旋转体的体积.

给定实数 $a$，且 $a \neq 0$，$a \neq 1$，设函数 $y = \frac{x - 1}{ax - 1}$（$x \in \mathbf{R}$，且 $x \neq \frac{1}{a}$）. 证明：

(1) 经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于 $x$ 轴； (2) 这个函数的图象关于直线 $y = x$ 成轴对称图形.

直线 $L$ 的方程为 $x = -\frac{p}{2}$，其中 $p > 0$. 椭圆的中心为 $D\left(2+\frac{p}{2},0\right)$，焦点在 $x$ 轴上，长半轴长为 $2$，短半轴长为 $1$，它的一个顶点为 $A\left(\frac{p}{2},0\right)$. 问 $p$ 在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点 $A$ 的距离等于该点到直线 $L$ 的距离.