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01复数★☆☆☆☆
(1−i1+i)2\left(\frac{1 - \mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}}\right)^2 的值等于（\quad）
A.
11
B.
−1-1
C.
i\mathrm{i}
D.
−i-\mathrm{i}

1988 · 全国 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★☆☆☆☆
设圆 MM 的方程为 (x−3)2+(y−2)2=2(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 2，直线 LL 的方程为 x+y−3=0x + y - 3 = 0，点 PP 的坐标为 (2,1)(2,1). 那么（\quad）
A.
点 PP 在直线 LL 上，但不在圆 MM 上
B.
点 PP 在圆 MM 上，但不在直线 LL 上
C.
点 PP 既在圆 MM 上，又在直线 LL 上
D.
点 PP 既不在直线 LL 上，也不在圆 MM 上

1988 · 全国 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★☆☆☆☆
集合 {1,2,3}\{1,2,3\} 的子集共有（\quad）
A.
77 个
B.
88 个
C.
66 个
D.
55 个

1988 · 全国 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★☆☆☆☆
已知双曲线方程 x220−y25=1\frac{x^2}{20} - \frac{y^2}{5} = 1，那么它的焦距是（\quad）
A.
1010
B.
55
C.
15\sqrt{15}
D.
2152\sqrt{15}

1988 · 全国 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x−3)10(x - \sqrt{3})^10 的展开式中，x6x^6 的系数是（\quad）
A.
−27C106-27\mathrm C_{10}^6
B.
27C10427\mathrm C_{10}^4
C.
−9C106-9\mathrm C_{10}^6
D.
9C1049\mathrm C_{10}^4

1988 · 全国 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
函数 y=cos⁡4x−sin⁡4xy=\cos^4 x-\sin^4 x 的最小正周期是（\quad）
A.
π\pi
B.
2π2\pi
C.
π2\frac{\pi}{2}
D.
4π4\pi

1988 · 全国 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★☆☆☆
方程 4cos⁡2x−43cos⁡x+3=04\cos^2 x - 4\sqrt{3}\cos x + 3 = 0 的解集是（\quad）
A.
{x∣x=kπ+(−1)k⋅π6,k∈Z}\left\{x\mid x = k\pi +(-1)^k\cdot \frac{\pi}{6},k\in \mathbf{Z}\right\}
B.
{x∣x=kπ+(−1)k⋅π3,k∈Z}\left\{x\mid x = k\pi +(-1)^k\cdot \frac{\pi}{3},k\in \mathbf{Z}\right\}
C.
{x∣x=2kπ±π6,k∈Z}\left\{x\mid x = 2k\pi \pm \frac{\pi}{6},k\in \mathbf{Z}\right\}
D.
{x∣x=2kπ±π3,k∈Z}\left\{x\mid x = 2k\pi \pm \frac{\pi}{3},k\in \mathbf{Z}\right\}

1988 · 全国 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★★☆☆
极坐标方程 ρ=43−2cos⁡θ\rho = \frac{4}{3 - 2\cos\theta} 所表示的曲线是（\quad）
A.
圆
B.
双曲线右支
C.
抛物线
D.
椭圆

1988 · 全国 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★☆☆☆
如图，正四棱台中，A′D′A'D' 所在的直线与 BB′BB' 所在的直线是（\quad）
A.
相交直线
B.
平行直线
C.
不互相垂直的异面直线
D.
互相垂直的异面直线

1988 · 全国 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10三角函数★★☆☆☆
tan⁡(arctan⁡15+arctan⁡3)\tan \left(\arctan \frac{1}{5}+\arctan 3\right) 的值等于（\quad）
A.
44
B.
12\frac{1}{2}
C.
18\frac{1}{8}
D.
88

1988 · 全国 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11集合与逻辑基础★★★☆☆
设命题甲：△ABC\triangle ABC 的一个内角为 60∘60^{\circ}. 命题乙：△ABC\triangle ABC 的三内角的度数成等差数列. 那么（\quad）
A.
甲是乙的充分条件，但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件，但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

1988 · 全国 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12复数★★☆☆☆
在复平面内，若复数 zz 满足 ∣z+1∣=∣z−i∣|z + 1| = |z - \mathrm{i}|，则 zz 所对应的点 ZZ 的集合构成的图形是（\quad）
A.
圆
B.
直线
C.
椭圆
D.
双曲线

1988 · 全国 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13解析几何★★☆☆☆
如果曲线 x2−y2−2x−2y−1=0x^{2} - y^{2} - 2x - 2y - 1 = 0 经过平移坐标轴后的新方程为 x′2−y′2=1x^{\prime 2} - y^{\prime 2} = 1，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（\quad）
A.
(1,1)(1,1)
B.
(−1,−1)(-1, - 1)
C.
(−1,1)(-1, 1)
D.
(1,−1)(1, - 1)

1988 · 全国 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
假设在 200200 件产品中有 33 件次品，现在从中任意抽取 55 件，其中至少有 22 件次品的抽法有（\quad）
A.
C32C1973\mathrm C_3^2\mathrm C_{197}^3 种
B.
C32C1973+C33C1972\mathrm C_3^2\mathrm C_{197}^3 + \mathrm C_3^3\mathrm C_{197}^2 种
C.
C2005−C1975\mathrm C_{200}^5 - \mathrm C_{197}^5 种
D.
C2005−C31C1974\mathrm C_{200}^5 - \mathrm C_3^1\mathrm C_{197}^4 种

1988 · 全国 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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15立体几何初步★★★☆☆
已知二面角 α−AB−β\alpha-AB-\beta 的平面角是锐角，CC 是平面 α\alpha 内一点（它不在棱 ABAB 上），点 DD 是点 CC 在面 β\beta 上的射影，点 EE 是棱 ABAB 上满足 ∠CEB\angle CEB 为锐角的任一点，那么（\quad）
A.
∠CEB>∠DEB\angle CEB > \angle DEB
B.
∠CEB=∠DEB\angle CEB = \angle DEB
C.
∠CEB<∠DEB\angle CEB < \angle DEB
D.
∠CEB\angle CEB 与 ∠DEB\angle DEB 的大小关系不能确定

1988 · 全国 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16复数★☆☆☆☆
求复数 3−i\sqrt{3} - \mathrm{i} 的模和辐角的主值，分别为______，______.

1988 · 全国 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17指数函数与对数函数★★☆☆☆
解方程：9−x−2⋅31−x=279^{-x} - 2 \cdot 3^{1 - x} = 27，解为______.

1988 · 全国 · 理 · 第 17 题 · 填空题

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18三角函数★★☆☆☆
已知 sin⁡θ=−35\sin \theta = -\frac{3}{5}，3π<θ<7π23\pi < \theta < \frac{7\pi}{2}，求 tan⁡θ2\tan \frac{\theta}{2} 的值为______.

1988 · 全国 · 理 · 第 18 题 · 填空题

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19立体几何初步★★☆☆☆
如图，四棱锥 S−ABCDS-ABCD 的底面是边长为 11 的正方形，侧棱 SBSB 垂直于底面，并且 SB=3SB=\sqrt{3}，用 α\alpha 表示 ∠ASD\angle ASD，求 sin⁡α\sin \alpha 的值为______.

1988 · 全国 · 理 · 第 19 题 · 填空题

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20数列★★★☆☆
已知等比数列 {an}\{a_{n}\} 的公比 q>1q > 1，并且 a1=ba_{1} = b（b≠0b \neq 0）. 求 lim⁡n→∞a1+a2+a3+⋯+ana6+a7+a8+⋯+an=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdots + a_{n}}{a_{6} + a_{7} + a_{8} + \cdots + a_{n}}=______.

1988 · 全国 · 理 · 第 20 题 · 填空题

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21三角函数★★★☆☆
已知 tan⁡x=a\tan x = a，求 3sin⁡x+sin⁡3x3cos⁡x+cos⁡3x\frac{3\sin x + \sin 3x}{3\cos x + \cos 3x} 的值.

1988 · 全国 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22立体几何初步★★★★☆
如图，正三棱锥 S−ABCS-ABC 的侧面是边长为 aa 的正三角形，DD 是 SASA 的中点，EE 是 BCBC 的中点，求 △SDE\triangle SDE 绕直线 SESE 旋转一周所得的旋转体的体积.

1988 · 全国 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23指数函数与对数函数★★★☆☆
设 a>0a > 0，a≠1a \neq 1，t>0t > 0，比较 12log⁡at\frac{1}{2} \log_a t 与 log⁡at+12\log_a \frac{t + 1}{2} 的大小，并证明你的结论.

1988 · 全国 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24函数与初等函数★★★★☆
给定实数 aa，且 a≠0a \neq 0，a≠1a \neq 1，设函数 y=x−1ax−1y = \frac{x - 1}{ax - 1}（x∈Rx \in \mathbf{R}，且 x≠1ax \neq \frac{1}{a}）. 证明：
(1) 经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于 xx 轴； (2) 这个函数的图象关于直线 y=xy = x 成轴对称图形.

1988 · 全国 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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25解析几何★★★★☆
直线 LL 的方程为 x=−p2x = -\frac{p}{2}，其中 p>0p > 0. 椭圆的中心为 D(2+p2,0)D\left(2+\frac{p}{2},0\right)，焦点在 xx 轴上，长半轴长为 22，短半轴长为 11，它的一个顶点为 A(p2,0)A\left(\frac{p}{2},0\right). 问 pp 在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点 AA 的距离等于该点到直线 LL 的距离.

1988 · 全国 · 理 · 第 25 题 · 解答题

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