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09函数与初等函数★★★★☆
已知 x0x_0 是函数 f(x)=2x+11−xf(x) = 2^x + \frac{1}{1 - x} 的一个零点. 若 x1∈(1,x0)x_1 \in (1, x_0)，x2∈(x0,+∞)x_2 \in (x_0, +\infty)，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 因为 2x>02^x>0，当 x<1x<1 时又有 11−x>0\frac{1}{1-x}>0，所以零点只能满足 x0>1x_0>1. 对 x>1x>1，有
f(x)=2x−1x−1=2x(x−1)−1x−1f(x)=2^x-\frac{1}{x-1} =\frac{2^x(x-1)-1}{x-1}
令 g(x)=2x(x−1)g(x)=2^x(x-1). 则 g′(x)=2x((x−1)ln⁡2+1)>0g'(x)=2^x\bigl((x-1)\ln2+1\bigr)>0，（x>1x>1）， 所以 gg 在 (1,+∞)(1,+\infty) 上严格递增. 由 f(x0)=0f(x_0)=0 得 g(x0)=1g(x_0)=1. 因此，当 1<x1<x01<x_1<x_0 时 g(x1)<1g(x_1)<1，从而 f(x1)<0f(x_1)<0；当 x2>x0x_2>x_0 时 g(x2)>1g(x_2)>1，从而 f(x2)>0f(x_2)>0. 故选 B. \end{solution}
A.
f(x1)<0,f(x2)<0f(x_{1}) < 0, f(x_{2}) < 0
B.
f(x1)<0f(x_{1}) < 0，f(x2)>0f(x_{2}) > 0
C.
f(x1)>0f(x_{1}) > 0，f(x2)<0f(x_{2}) < 0
D.
f(x1)>0f(x_{1}) > 0，f(x2)>0f(x_{2}) > 0

2010 · 浙江 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★★★☆
设 OO 为坐标原点，F1F_1，F2F_2 是双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （a>0a > 0，b>0b > 0）的焦点. 若在双曲线上存在点 PP，满足 ∠F1PF2=60∘\angle F_1PF_2 = 60^{\circ}，∣OP∣=7a|OP| = \sqrt{7}a，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设 PF1=r1PF_1=r_1，PF2=r2PF_2=r_2，双曲线半焦距为 cc，则 c2=a2+b2c^2=a^2+b^2. 由 OP=7aOP=\sqrt7a 以及两焦点关于原点对称，得
r12+r22=2(OP2+c2)=14a2+2c2r_1^2+r_2^2=2(OP^2+c^2)=14a^2+2c^2
又因双曲线的定义，
∣r1−r2∣=2a|r_1-r_2|=2a
故
r1r2=r12+r22−4a22=5a2+c2r_1r_2=\frac{r_1^2+r_2^2-4a^2}{2}=5a^2+c^2
在三角形 F1PF2F_1PF_2 中， F1F2=2cF_1F_2=2c，且 ∠F1PF2=60∘\angle F_1PF_2=60^{\circ}. 由余弦定理，
4c2=r12+r22−2r1r2cos⁡60∘=r12+r22−r1r2=9a2+c24c^2=r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos60^{\circ} =r_1^2+r_2^2-r_1r_2 =9a^2+c^2
所以 c2=3a2c^2=3a^2，从而 b2=c2−a2=2a2b^2=c^2-a^2=2a^2，即 ba=2\frac ba=\sqrt2. 双曲线的渐近线为 y=±bax=±2xy=\pm\frac ba x=\pm\sqrt2x，即 2x±y=0\sqrt2x\pm y=0，故选 D. \end{solution}
A.
x±3y=0x \pm \sqrt{3} y = 0
B.
3x±y=0\sqrt{3} x \pm y = 0
C.
x±2y=0x \pm \sqrt{2} y = 0
D.
2x±y=0\sqrt{2} x \pm y = 0

2010 · 浙江 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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17平面向量★★★★☆
在平行四边形 ABCDABCD 中，OO 是 ACAC 与 BDBD 的交点，PP，QQ，MM，NN 分别是线段 OAOA，OBOB，OCOC，ODOD 的中点. 在 AA，PP，MM，CC 中任取一点记为 EE，在 BB，QQ，NN，DD 中任取一点记为 FF. 设 GG 为满足向量 OG→=OE→+OF→\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF} 的点，则在上述的点 GG 组成的集合中的点，落在平行四边形 ABCDABCD 外（不含边界）的概率为______.
\begin{answer} 34\frac{3}{4} \end{answer}
\begin{solution} 以 OO 为原点，设 OA→=a\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}， OB→=b\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}. 由于平行四边形的对角线互相平分， OC→=−a\overrightarrow{OC}=-\boldsymbol{a}，OD→=−b\overrightarrow{OD}=-\boldsymbol{b}. 所以 EE 对应的系数只能是 11，12\frac12，−12-\frac12，−1-1，即 OE→=sa\overrightarrow{OE}=s\boldsymbol{a}，其中 s∈{1,12,−12,−1}s\in\left\{1,\frac12,-\frac12,-1\right\}. 同理 OF→=tb\overrightarrow{OF}=t\boldsymbol{b}，其中 t∈{1,12,−12,−1}t\in\left\{1,\frac12,-\frac12,-1\right\}. 因而
OG→=sa+tb\overrightarrow{OG}=s\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}
在基底 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 下，平行四边形 ABCDABCD 的四个顶点为 (1,0)(1,0)，(0,1)(0,1)，(−1,0)(-1,0)，(0,−1)(0,-1)，其内部及边界为 ∣s∣+∣t∣⩽1|s|+|t|\leqslant1. 当且仅当 ∣s∣=∣t∣=12|s|=|t|=\frac12 时，∣s∣+∣t∣=1|s|+|t|=1，对应 2×2=42\times2=4 个选择，所得点在边界上，不计入外部. 其余 16−4=1216-4=12 个选择满足 ∣s∣+∣t∣>1|s|+|t|>1，所得点在平行四边形外部.
因此所求概率为
1216=34\frac{12}{16}=\frac34
\end{solution}

2010 · 浙江 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在平行四边形 ABCDABCD 中，AB=2BCAB = 2BC，∠ABC=120∘\angle ABC = 120^{\circ}. EE 为线段 ABAB 的中点，将 △ADE\triangle ADE 沿直线 DEDE 翻折成 △A′DE\triangle A'DE，使平面 A′DE⊥A'DE \perp 平面 BCDBCD，FF 为线段 A′CA'C 的中点.
(1) 求证：BF∥BF \parallel 平面 A′DEA'DE； (2) 设 MM 为线段 DEDE 的中点，求直线 FMFM 与平面 A′DEA'DE 所成角的余弦值.

2010 · 浙江 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(x−a)2(x−b)f(x) = (x - a)^2(x - b) （aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，a<ba < b）.
(1) 当 a=1a = 1，b=2b = 2 时，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (2,f(2))(2, f(2)) 处的切线方程； (2) 设 x1x_1，x2x_2 是 f(x)f(x) 的两个极值点，x3x_3 是 f(x)f(x) 的一个零点，且 x3≠x1x_3 \neq x_1，x3≠x2x_3 \neq x_2. 证明：存在实数 x4x_4，使得 x1x_1，x2x_2，x3x_3，x4x_4 按某种顺序排列后成等差数列，并求 x4x_4.

2010 · 浙江 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
已知 mm 是非零实数，抛物线 C:y2=2pxC: y^{2} = 2px （p>0p > 0） 的焦点 FF 在直线 l:x−my−m22=0l: x - my - \frac{m^{2}}{2} = 0 上.
(1) 若 m=2m = 2，求抛物线 CC 的方程； (2) 设直线 ll 与抛物线 CC 交于 AA，BB 两点，过 AA，BB 分别作抛物线 CC 的准线的垂线，垂足为 A1A_{1}，B1B_{1}，△AA1F\triangle AA_{1}F，△BB1F\triangle BB_{1}F 的重心分别为 GG，HH. 求证：对任意非零实数 mm，抛物线 CC 的准线与 xx 轴的交点在以线段 GHGH 为直径的圆外.

2010 · 浙江 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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