四棱锥 $A - BCDE$ 中，底面 $BCDE$ 为矩形，侧面 $ABC \perp$ 底面 $BCDE$，$BC = 2$，$CD = \sqrt{2}$，$AB = AC$.

(1) 证明： $AD \perp CE$； (2) 设侧面 $ABC$ 为等边三角形，求二面角 $C - AD - E$ 的大小.

(1) 已知函数 $f(x) = x^{3} + ax^{2} + x + 1$，$a \in \mathbf{R}$. 讨论函数 $f(x)$ 的单调区间； (2) 设函数 $f(x)$ 在区间 $\left(-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right)$ 内是减函数，求 $a$ 的取值范围.

(1) 双曲线的中心为原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，两条渐近线分别为 $l_{1}$，$l_{2}$，经过右焦点 $F$ 垂直于 $l_{1}$ 的直线分别交 $l_{1}$，$l_{2}$ 于 $A$，$B$ 两点. 已知 $\left|\overrightarrow{OA}\right|$， $\left|\overrightarrow{AB}\right|$， $\left|\overrightarrow{OB}\right|$ 成等差数列，且 $\overrightarrow{BF}$ 与 $\overrightarrow{FA}$ 同向. 求双曲线的离心率； (2) 设 $AB$ 被双曲线所截得的线段的长为 $4$，求双曲线的方程.