已知 $\triangle ABC$ 的三个内角 $A$，$B$，$C$ 满足：$A + C = 2B$，$\frac{1}{\cos A} + \frac{1}{\cos C} = -\frac{\sqrt{2}}{\cos B}$，求 $\cos \frac{A - C}{2}$ 的值.

某地现有耕地 $10000\text{ 公顷}$，规划 $10\text{ 年}$后粮食单产比现在增加 $22\%$，人均粮食占有量比现在提高 $10\%$. 如果人口年增长率为 $1\%$，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到 $1\text{ 公顷}$）？（粮食单产 $= \frac{\text{总产量}}{\text{耕地面积}}$，人均粮食占有量 $= \frac{\text{总产量}}{\text{总人口数}}$）.

已知 $l_{1}$，$l_{2}$ 是过点 $P\left(-\sqrt{2}, 0\right)$ 的两条互相垂直的直线，且 $l_{1}$，$l_{2}$ 与双曲线 $y^{2}-x^{2}=1$ 各有两个交点，分别为 $A_{1}$，$B_{1}$ 和 $A_{2}$，$B_{2}$.

(1) 求 $l_{1}$ 的斜率 $k_{1}$ 的取值范围； (2) 若 $A_{1}$ 恰是双曲线的一个顶点，求 $\left|A_{2}B_{2}\right|$ 的值.