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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设全集 I={1,2,3,4,5,6,7}I = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}，集合 A={1,3,5,7}A = \{1, 3, 5, 7\}，B={3,5}B = \{3, 5\}，则（ ）
A.
I=A∪BI = A\cup B
B.
I=A‾∪BI = \overline{A}\cup B
C.
I=A∪B‾I = A\cup \overline{B}
D.
I=A‾∪B‾I = \overline{A}\cup \overline{B}

1996 · 全国 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02指数函数与对数函数★★☆☆☆
当 a>1a > 1 时，在同一坐标系中，函数 y=a−xy = a^{-x} 与 y=log⁡axy = \log_a x 的图象（ ）
A.
B.
C.
D.

1996 · 全国 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
若 sin⁡2x>cos⁡2x\sin^2 x > \cos^2 x，则 xx 的取值范围是（ ）
A.
{x∣2kπ−34π<x<2kπ+14π,k∈Z}\left\{x\mid 2k\pi -\frac{3}{4}\pi < x < 2k\pi +\frac{1}{4}\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}
B.
{x∣2kπ+14π<x<2kπ+54π,k∈Z}\left\{x\mid 2k\pi +\frac{1}{4}\pi < x < 2k\pi +\frac{5}{4}\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}
C.
{x∣kπ−14π<x<kπ+14π,k∈Z}\left\{x\mid k\pi -\frac{1}{4}\pi < x < k\pi + \frac{1}{4}\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}
D.
{x∣kπ+14π<x<kπ+34π,k∈Z}\left\{x\mid k\pi +\frac{1}{4}\pi < x < k\pi +\frac{3}{4}\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}

1996 · 全国 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04复数★★★☆☆
复数 (2+2i)4(1−3i)5\frac{\left(2 + 2\mathrm{i}\right)^4}{\left(1 - \sqrt{3}\mathrm{i}\right)^5} 等于（ ）
A.
1+3i1 + \sqrt{3}\mathrm{i}
B.
−1+3i-1 + \sqrt{3}\mathrm{i}
C.
1−3i1 - \sqrt{3}\mathrm{i}
D.
−1−3i-1 - \sqrt{3}\mathrm{i}

1996 · 全国 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
6 名6\text{ 名}同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ ）
A.
720 种720\text{ 种}
B.
360 种360\text{ 种}
C.
240 种240\text{ 种}
D.
120 种120\text{ 种}

1996 · 全国 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
已知 α\alpha 是第三象限角且 sin⁡α=−2425\sin \alpha = -\frac{24}{25}，则 tan⁡α2=\tan \frac{\alpha}{2} =（ ）
A.
43\frac{4}{3}
B.
34\frac{3}{4}
C.
−34-\frac{3}{4}
D.
−43-\frac{4}{3}

1996 · 全国 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
如果直线 ll，mm 与平面 α\alpha，β\beta，γ\gamma 满足：l=β∩γl = \beta \cap \gamma，l∥αl \parallel \alpha，m⊂αm \subset \alpha，m⊥γm \perp \gamma，那么必有（ ）
A.
α⊥γ\alpha \perp \gamma 且 l⊥ml \perp m
B.
α⊥γ\alpha \perp \gamma 且 m∥βm \parallel \beta
C.
m∥βm \parallel \beta 且 l⊥ml \perp m
D.
α∥β\alpha \parallel \beta 且 α⊥γ\alpha \perp \gamma

1996 · 全国 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★★☆☆
当 −π2⩽x⩽π2-\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}，f(x)=sin⁡x+3cos⁡xf(x) = \sin x + \sqrt{3} \cos x 的（ ）
A.
最大值是 11，最小值是 −1-1
B.
最大值是 11，最小值是 −12-\frac{1}{2}
C.
最大值是 22，最小值是 −2-2
D.
最大值是 22，最小值是 −1-1

1996 · 全国 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★☆☆☆
中心在原点，准线方程为 x=±4x = \pm 4，离心率为 12\frac{1}{2} 的椭圆方程是（ ）
A.
x24+y23=1\frac{x^2}{4} +\frac{y^2}{3} = 1
B.
x23+y24=1\frac{x^2}{3} +\frac{y^2}{4} = 1
C.
x24+y2=1\frac{x^2}{4} + y^2 = 1
D.
x2+y24=1x^2 + \frac{y^2}{4} = 1

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10立体几何初步★★☆☆☆
圆锥母线长为 11，侧面展开图圆心角为 240∘240^{\circ}，该圆锥的体积（ ）
A.
22π81\frac{2\sqrt{2}\pi}{81}
B.
8π81\frac{8\pi}{81}
C.
45π81\frac{4\sqrt{5}\pi}{81}
D.
10π81\frac{10\pi}{81}

1996 · 全国 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★☆☆☆
椭圆 25x2−150x+9y2+18y+9=025x^{2} - 150x + 9y^{2} + 18y + 9 = 0 的两个焦点坐标是（ ）
A.
(−3,5)\left(-3, 5\right)，(−3,−3)\left(-3, -3\right)
B.
(3,3)\left(3, 3\right)，(3,−5)\left(3, -5\right)
C.
(1,1)\left(1, 1\right)，(−7,1)\left(-7, 1\right)
D.
(7,−1)\left(7, -1\right)，(−1,−1)\left(-1, -1\right)

1996 · 全国 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★☆☆
将边长为 aa 的正方形 ABCDABCD 沿对角线 ACAC 折起，使得 BD=aBD = a，则三棱锥 DABCDABC 的体积为（ ）
A.
a36\frac{a^3}{6}
B.
a312\frac{a^3}{12}
C.
312a3\frac{\sqrt{3}}{12} a^3
D.
212a3\frac{\sqrt{2}}{12} a^3

1996 · 全国 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13数列★★☆☆☆
等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 mm 项和为 3030，前 2m2m 项和为 100100，则它的前 3m3m 项和为（ ）
A.
130130
B.
170170
C.
210210
D.
260260

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14解析几何★★★☆☆
设双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（0<a<b0 < a < b）的半焦距为 cc，直线 ll 过 (a,0)\left(a, 0\right)，(0,b)\left(0, b\right) 两点，已知原点到直线 ll 的距离为 34c\frac{\sqrt{3}}{4} c，则双曲线的离心率为（ ）
A.
22
B.
3\sqrt{3}
C.
2\sqrt{2}
D.
233\frac{2\sqrt{3}}{3}

1996 · 全国 · 文 · 第 14 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
设 f(x)f\left(x\right) 是 (−∞,+∞)\left(-\infty, +\infty\right) 上的奇函数，f(x+2)=−f(x)f\left(x + 2\right) = -f\left(x\right)，当 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1 时，f(x)=xf\left(x\right) = x，则 f(7.5)f\left(7.5\right) 等于（ ）
A.
0.50.5
B.
−0.5-0.5
C.
1.51.5
D.
−1.5-1.5

1996 · 全国 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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16解析几何★★☆☆☆
已知点 (−2,3)(-2,3) 与抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px （p>0p > 0）的焦点的距离是 55，则 p=p =______.

1996 · 全国 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17计数原理与组合数学★★☆☆☆
正六边形的中心和顶点共 7 个7\text{ 个}点，以其中 3 个3\text{ 个}点为顶点的三角形共有______个. （用数字作答）

1996 · 全国 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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18三角函数★★☆☆☆
tan⁡20∘+tan⁡40∘+3tan⁡20∘tan⁡40∘\tan 20^{\circ} + \tan 40^{\circ} + \sqrt{3}\tan 20^{\circ}\tan 40^{\circ} 的值是______.

1996 · 全国 · 文 · 第 18 题 · 填空题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，正方形 ABCDABCD 所在平面与正方形 ABEFABEF 所在平面成 60∘60^{\circ} 的二面角，则异面直线 ADAD 与 BFBF 所成角的余弦值是______.

1996 · 全国 · 文 · 第 19 题 · 填空题

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20不等式★★★☆☆
解不等式：log⁡a(x+1−a)>1\log_a(x + 1 - a) > 1.

1996 · 全国 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★☆☆
设等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}. 若 S3+S6=2S9S_{3} + S_{6} = 2S_{9}，求数列的公比 qq.

1996 · 全国 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22三角函数★★★★☆
已知 △ABC\triangle ABC 的三个内角 AA，BB，CC 满足：A+C=2BA + C = 2B，1cos⁡A+1cos⁡C=−2cos⁡B\frac{1}{\cos A} + \frac{1}{\cos C} = -\frac{\sqrt{2}}{\cos B}，求 cos⁡A−C2\cos \frac{A - C}{2} 的值.

1996 · 全国 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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23立体几何初步★★★☆☆
如图，在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，AB=AA13=aAB = \frac{AA_{1}}{3} = a，EE，FF 分别是 BB1BB_{1}，CC1CC_{1} 上的点，BE=aBE = a，CF=2aCF = 2a.
(1) 求证：面 AEFAEF ⊥\perp 面 ACFACF； (2) 求三棱锥 A1−AEFA_{1} - AEF 的体积.

1996 · 全国 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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24函数与初等函数★★★★☆
某地现有耕地 10000 公顷10000\text{ 公顷}，规划 10 年10\text{ 年}后粮食单产比现在增加 22%22\%，人均粮食占有量比现在提高 10%10\%. 如果人口年增长率为 1%1\%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到 1 公顷1\text{ 公顷}）？（粮食单产 =总产量耕地面积= \frac{\text{总产量}}{\text{耕地面积}}，人均粮食占有量 =总产量总人口数= \frac{\text{总产量}}{\text{总人口数}}）.

1996 · 全国 · 文 · 第 24 题 · 解答题

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25解析几何★★★★☆
已知 l1l_{1}，l2l_{2} 是过点 P(−2,0)P\left(-\sqrt{2}, 0\right) 的两条互相垂直的直线，且 l1l_{1}，l2l_{2} 与双曲线 y2−x2=1y^{2}-x^{2}=1 各有两个交点，分别为 A1A_{1}，B1B_{1} 和 A2A_{2}，B2B_{2}.
(1) 求 l1l_{1} 的斜率 k1k_{1} 的取值范围； (2) 若 A1A_{1} 恰是双曲线的一个顶点，求 ∣A2B2∣\left|A_{2}B_{2}\right| 的值.

1996 · 全国 · 文 · 第 25 题 · 解答题

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