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08集合与逻辑基础★★★★☆
设整数 n⩾4n \geqslant 4，集合 X={1,2,3,⋯ ,n}X = \{1, 2, 3, \cdots, n\}. 令集合 S={(x,y,z)∣x,y,z∈X, 且三条件 x<y<z,y<z<x,z<x<y 恰有一个成立}S = \{(x, y, z) \mid x, y, z \in X,\ \text{且三条件 } x < y < z, y < z < x, z < x < y \text{ 恰有一个成立}\}，若 (x,y,z)(x, y, z) 和 (z,w,x)(z, w, x) 都在 SS 中，则下列选项正确的是（ ）
A.
(y,z,w)∈S,(x,y,w)∉S(y, z, w) \in S, (x, y, w) \notin S
B.
(y,z,w)∈S(y, z, w) \in S，(x,y,w)∈S(x, y, w) \in S
C.
(y,z,w)∉S(y,z,w)\notin S，(x,y,w)∈S(x,y,w)\in S
D.
(y,z,w)∉S(y,z,w)\notin S，(x,y,w)∉S(x,y,w)\notin S

2013 · 广东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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13解析几何★★★★☆
给定区域
D:{x+4y⩾4,x+y⩽4,x⩾0,D: \begin{cases} x + 4y \geqslant 4,\\ x + y \leqslant 4,\\ x \geqslant 0, \end{cases}
令点集 T={(x0,y0)∈D∣x0,y0∈Z, (x0,y0) 是 z=x+y 在 D 上取得最大值或最小值的点}T = \{(x_0, y_0) \in D \mid x_0, y_0 \in \mathbf{Z},\ (x_0, y_0)\text{ 是 } z = x + y \text{ 在 } D \text{ 上取得最大值或最小值的点}\}，则 TT 中的点共确定______ 条不同的直线.

2013 · 广东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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18立体几何初步★★★★☆
如图①，在等腰直角三角形 ABCABC 中，∠A=90∘\angle A = 90^{\circ}，BC=6BC = 6. DD，EE 分别是 ACAC，ABAB 上的点，CD=BE=2CD = BE = \sqrt{2}，OO 为 BCBC 的中点. 将 △ADE\triangle ADE 沿 DEDE 折起，得到下图②所示的四棱锥 A′−BCDEA^{\prime} - BCDE，其中 A′O=3A^{\prime}O = \sqrt{3}.
(1) 证明：A′O⊥A^{\prime}O \perp 平面 BCDEBCDE. (2) 求二面角 A′−CD−BA^{\prime} - CD - B 的平面角的余弦值.

2013 · 广东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，已知 a1=1a_{1} = 1，2Snn=an+1−13n2−n−23\frac{2S_{n}}{n} = a_{n+1} - \frac{1}{3} n^{2} - n - \frac{2}{3}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}.
(1) 求 a2a_{2} 的值. (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式. (3) 证明：对一切正整数 nn，有 1a1+1a2+⋯+1an<74\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n} < \frac{7}{4}.

2013 · 广东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知抛物线 CC 的顶点为原点，其焦点 F(0,c)F(0, c)（c>0c > 0）到直线 l:x−y−2=0l: x - y - 2 = 0 的距离为 322\frac{3\sqrt{2}}{2}. 设 PP 为直线 ll 上的点，过点 PP 作抛物线 CC 的两条切线 PAPA，PBPB，其中 AA，BB 为切点.
(1) 求抛物线 CC 的方程. (2) 当点 P(x0,y0)P(x_0, y_0) 为直线 ll 上的定点时，求直线 ABAB 的方程. (3) 当点 PP 在直线 ll 上移动时，求 ∣AF∣⋅∣BF∣|AF| \cdot |BF| 的最小值.

2013 · 广东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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