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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 M={x∣x2+2x=0,x∈R}M = \{x \mid x^2 + 2x = 0, x \in \mathbf{R}\}，N={x∣x2−2x=0,x∈R}N = \{x \mid x^2 - 2x = 0, x \in \mathbf{R}\}，则 M∪N=M \cup N =（ ）
A.
{0}\{0\}
B.
{0,2}\{0, 2\}
C.
{−2,0}\{-2, 0\}
D.
{−2,0,2}\{-2, 0, 2\}

2013 · 广东 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
定义域为 R\mathbf{R} 的四个函数 y=x3y = x^3，y=2xy = 2^x，y=x2+1y = x^2 + 1，y=2sin⁡xy = 2\sin x 中，奇函数的个数是（ ）
A.
44
B.
33
C.
22
D.
11

2013 · 广东 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03复数★☆☆☆☆
若复数 zz 满足 iz=2+4i\mathrm{i} z = 2 + 4\mathrm{i}，则在复平面内，zz 对应的点的坐标是（ ）
A.
(2,4)(2,4)
B.
(2,−4)(2,-4)
C.
(4,−2)(4,-2)
D.
(4,2)(4,2)

2013 · 广东 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04概率与统计★☆☆☆☆
已知离散型随机变量 XX 的分布列为
XX112233
则 XX 的数学期望 E(X)=E(X) =（ ）
A.
32\frac{3}{2}
B.
22
C.
52\frac{5}{2}
D.
33

2013 · 广东 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★☆☆☆
某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）
A.
44
B.
143\frac{14}{3}
C.
163\frac{16}{3}
D.
66

2013 · 广东 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★☆☆☆
设 mm，nn 是两条不同的直线，α\alpha，β\beta 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A.
若 α⊥β,m⊂α,n⊂β\alpha \perp \beta, m \subset \alpha, n \subset \beta，则 m⊥nm \perp n
B.
若 α∥β\alpha \parallel \beta，m⊂αm \subset \alpha，n⊂βn \subset \beta，则 m∥nm \parallel n
C.
若 m⊥nm \perp n，m⊂αm \subset \alpha，n⊂βn \subset \beta，则 α⊥β\alpha \perp \beta
D.
若 m⊥αm \perp \alpha，m∥nm \parallel n，n∥βn \parallel \beta，则 α⊥β\alpha \perp \beta

2013 · 广东 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
已知中心在原点的双曲线 CC 的右焦点为 F(3,0)F(3,0)，离心率等于 32\frac{3}{2}，则 CC 的方程是（ ）
A.
x24−y25=1\frac{x^2}{4} -\frac{y^2}{\sqrt{5}} = 1
B.
x24−y25=1\frac{x^2}{4} -\frac{y^2}{5} = 1
C.
x22−y25=1\frac{x^2}{2} -\frac{y^2}{5} = 1
D.
x22−y25=1\frac{x^2}{2} -\frac{y^2}{\sqrt{5}} = 1

2013 · 广东 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08集合与逻辑基础★★★★☆
设整数 n⩾4n \geqslant 4，集合 X={1,2,3,⋯ ,n}X = \{1, 2, 3, \cdots, n\}. 令集合 S={(x,y,z)∣x,y,z∈X, 且三条件 x<y<z,y<z<x,z<x<y 恰有一个成立}S = \{(x, y, z) \mid x, y, z \in X,\ \text{且三条件 } x < y < z, y < z < x, z < x < y \text{ 恰有一个成立}\}，若 (x,y,z)(x, y, z) 和 (z,w,x)(z, w, x) 都在 SS 中，则下列选项正确的是（ ）
A.
(y,z,w)∈S,(x,y,w)∉S(y, z, w) \in S, (x, y, w) \notin S
B.
(y,z,w)∈S(y, z, w) \in S，(x,y,w)∈S(x, y, w) \in S
C.
(y,z,w)∉S(y,z,w)\notin S，(x,y,w)∈S(x,y,w)\in S
D.
(y,z,w)∉S(y,z,w)\notin S，(x,y,w)∉S(x,y,w)\notin S

2013 · 广东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09不等式★☆☆☆☆
不等式 x2+x−2<0x^{2} + x - 2 < 0 的解集为______.

2013 · 广东 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10导数及其应用★☆☆☆☆
若曲线 y=kx+ln⁡xy = kx + \ln x 在点 (1,k)(1, k) 处的切线平行于 xx 轴，则 k=k=______.

2013 · 广东 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★☆☆☆☆
执行如图所示的程序框图，若输入 nn 的值为 44，则输出 ss 的值为______.

2013 · 广东 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12数列★★☆☆☆
在等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，已知 a3+a8=10a_{3} + a_{8} = 10，则 3a5+a7=‾3a_{5} + a_{7} =\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 广东 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★★★☆
给定区域
D:{x+4y⩾4,x+y⩽4,x⩾0,D: \begin{cases} x + 4y \geqslant 4,\\ x + y \leqslant 4,\\ x \geqslant 0, \end{cases}
令点集 T={(x0,y0)∈D∣x0,y0∈Z, (x0,y0) 是 z=x+y 在 D 上取得最大值或最小值的点}T = \{(x_0, y_0) \in D \mid x_0, y_0 \in \mathbf{Z},\ (x_0, y_0)\text{ 是 } z = x + y \text{ 在 } D \text{ 上取得最大值或最小值的点}\}，则 TT 中的点共确定______ 条不同的直线.

2013 · 广东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
已知曲线 CC 的参数方程为
{x=2cos⁡t,y=2sin⁡t,\begin{cases} x = \sqrt{2} \cos t,\\ y = \sqrt{2} \sin t, \end{cases}
（tt 为参数），CC 在点 (1,1)(1,1) 处的切线为 ll，以坐标原点为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则 ll 的极坐标方程为______.

2013 · 广东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
如图，ABAB 是圆 OO 的直径，点 CC 在圆 OO 上，延长 BCBC 到 DD 使 BC=CDBC = CD，过 CC 作圆 OO 的切线交 ADAD 于 EE. 若 AB=6AB = 6，ED=2ED = 2，则 BC=‾BC =\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 广东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=2cos⁡(x−π12)f(x) = \sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{12}\right)，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求 f(−π6)f\left(-\frac{\pi}{6}\right) 的值. (2) 若 cos⁡θ=35\cos \theta = \frac{3}{5}，θ∈(3π2,2π)\theta \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)，求 f(2θ+π3)f\left(2\theta + \frac{\pi}{3}\right).

2013 · 广东 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某车间共有 1212 名工人，随机抽取 66 名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.
17  97\;9
20  1  50\;1\;5
300
(1) 根据茎叶图计算样本均值. (2) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间 1212 名工人中有几名优秀工人？ (3) 从该车间 1212 名工人中，任取 22 人，求恰有 11 名优秀工人的概率.

2013 · 广东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图①，在等腰直角三角形 ABCABC 中，∠A=90∘\angle A = 90^{\circ}，BC=6BC = 6. DD，EE 分别是 ACAC，ABAB 上的点，CD=BE=2CD = BE = \sqrt{2}，OO 为 BCBC 的中点. 将 △ADE\triangle ADE 沿 DEDE 折起，得到下图②所示的四棱锥 A′−BCDEA^{\prime} - BCDE，其中 A′O=3A^{\prime}O = \sqrt{3}.
(1) 证明：A′O⊥A^{\prime}O \perp 平面 BCDEBCDE. (2) 求二面角 A′−CD−BA^{\prime} - CD - B 的平面角的余弦值.

2013 · 广东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，已知 a1=1a_{1} = 1，2Snn=an+1−13n2−n−23\frac{2S_{n}}{n} = a_{n+1} - \frac{1}{3} n^{2} - n - \frac{2}{3}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}.
(1) 求 a2a_{2} 的值. (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式. (3) 证明：对一切正整数 nn，有 1a1+1a2+⋯+1an<74\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n} < \frac{7}{4}.

2013 · 广东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知抛物线 CC 的顶点为原点，其焦点 F(0,c)F(0, c)（c>0c > 0）到直线 l:x−y−2=0l: x - y - 2 = 0 的距离为 322\frac{3\sqrt{2}}{2}. 设 PP 为直线 ll 上的点，过点 PP 作抛物线 CC 的两条切线 PAPA，PBPB，其中 AA，BB 为切点.
(1) 求抛物线 CC 的方程. (2) 当点 P(x0,y0)P(x_0, y_0) 为直线 ll 上的定点时，求直线 ABAB 的方程. (3) 当点 PP 在直线 ll 上移动时，求 ∣AF∣⋅∣BF∣|AF| \cdot |BF| 的最小值.

2013 · 广东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=(x−1)ex−kx2f(x) = (x - 1)\mathrm{e}^{x} - kx^{2} （k∈Rk \in \mathbf{R}）.
(1) 当 k=1k = 1 时，求函数 f(x)f(x) 的单调区间. (2) 当 k∈(12,1]k \in \left(\frac{1}{2}, 1\right] 时，求函数 f(x)f(x) 在 [0,k][0, k] 上的最大值 MM.

2013 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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