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10
计数原理与组合数学
★★★★☆
若集合
E
=
{
(
p
,
q
,
r
,
s
)
∣
0
⩽
p
<
s
⩽
4
,
0
⩽
q
<
s
⩽
4
,
0
⩽
r
<
s
⩽
4
且
p
,
q
,
r
,
s
∈
N
}
E = \{(p, q, r, s) \mid 0 \leqslant p < s \leqslant 4, 0 \leqslant q < s \leqslant 4, 0 \leqslant r < s \leqslant 4\text{ 且 }p, q, r, s \in \mathbf{N}\}
E
=
{(
p
,
q
,
r
,
s
)
∣
0
⩽
p
<
s
⩽
4
,
0
⩽
q
<
s
⩽
4
,
0
⩽
r
<
s
⩽
4
且
p
,
q
,
r
,
s
∈
N
}
，
F
=
{
(
t
,
u
,
v
,
w
)
∣
0
⩽
t
<
u
⩽
4
,
0
⩽
v
<
w
⩽
4
且
t
,
u
,
v
,
w
∈
N
}
F = \{(t, u, v, w) \mid 0 \leqslant t < u \leqslant 4, 0 \leqslant v < w \leqslant 4\text{ 且 }t, u, v, w \in \mathbf{N}\}
F
=
{(
t
,
u
,
v
,
w
)
∣
0
⩽
t
<
u
⩽
4
,
0
⩽
v
<
w
⩽
4
且
t
,
u
,
v
,
w
∈
N
}
，用
card
(
X
)
\operatorname{card}(X)
card
(
X
)
表示集合
X
X
X
中元素个数，则
card
(
E
)
+
card
(
F
)
=
\operatorname{card}(E) + \operatorname{card}(F) =
card
(
E
)
+
card
(
F
)
=
（ ）
A.
200
200
200
B.
150
150
150
C.
100
100
100
D.
50
50
50
2015 · 广东 · 文 · 第 10 题 · 选择题
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19
数列
★★★★☆
设数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
的前
n
n
n
项和为
S
n
S_{n}
S
n
，
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^{*}
n
∈
N
∗
，已知
a
1
=
1
a_{1} = 1
a
1
=
1
，
a
2
=
3
2
a_{2} = \frac{3}{2}
a
2
=
2
3
，
a
3
=
5
4
a_{3} = \frac{5}{4}
a
3
=
4
5
，且当
n
⩾
2
n \geqslant 2
n
⩾
2
时，
4
S
n
+
2
+
5
S
n
=
8
S
n
+
1
+
S
n
−
1
4S_{n+2} + 5S_{n} = 8S_{n+1} + S_{n-1}
4
S
n
+
2
+
5
S
n
=
8
S
n
+
1
+
S
n
−
1
.
(1) 求
a
4
a_{4}
a
4
的值. (2) 证明：
{
a
n
+
1
−
1
2
a
n
}
\left\{a_{n+1}-\frac{1}{2}a_{n}\right\}
{
a
n
+
1
−
2
1
a
n
}
为等比数列； (3) 求数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
的通项公式.
2015 · 广东 · 文 · 第 19 题 · 解答题
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