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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若集合 M={−1,1}M = \{-1, 1\}，N={−2,1,0}N = \{-2, 1, 0\}，则 M∩N=M \cap N =（ ）
A.
{0,−1}\{0, -1\}
B.
{1}\{1\}
C.
{0}\{0\}
D.
{−1,1}\{-1, 1\}

2015 · 广东 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
已知 i\mathrm{i} 是虚数单位，则复数 (1+i)2(1 + \mathrm{i})^{2} =（ ）
A.
2i2\mathrm{i}
B.
−2i-2\mathrm{i}
C.
22
D.
−2-2

2015 · 广东 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A.
y=x+sin⁡2xy = x + \sin 2x
B.
y=x2−cos⁡xy = x^{2} - \cos x
C.
y=2x+12xy = 2^{x} + \frac{1}{2^{x}}
D.
y=x2+sin⁡xy = x^{2} + \sin x

2015 · 广东 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{x+2y⩽2,x+y⩾0,x⩽4,\begin{cases} x + 2y \leqslant 2,\\ x + y \geqslant 0,\\ x \leqslant 4, \end{cases}
则 z=2x+3yz = 2x + 3y 的最大值为（ ）
A.
22
B.
55
C.
88
D.
1010

2015 · 广东 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 若 a=2a = 2，c=23c = 2\sqrt{3}，cos⁡A=32\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2} 且 b<cb < c，则 b=b =（ ）
A.
33
B.
222\sqrt{2}
C.
22
D.
3\sqrt{3}

2015 · 广东 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★★☆☆
若直线 l1l_{1} 和 l2l_{2} 是异面直线，l1l_{1} 在平面 α\alpha 内，l2l_{2} 在平面 β\beta 内，ll 是平面 α\alpha 与平面 β\beta 的交线. 则下列命题正确的是（ ）
A.
ll 与 l1l_{1}、l2l_{2} 都不相交
B.
ll 与 l1l_{1}、l2l_{2} 都相交
C.
ll 至多与 l1l_{1}、l2l_{2} 中的一条相交
D.
ll 至少与 l1l_{1}、l2l_{2} 中的一条相交

2015 · 广东 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07概率与统计★☆☆☆☆
已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品，现从 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为（ ）
A.
0.40.4
B.
0.60.6
C.
0.80.8
D.
11

2015 · 广东 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
已知椭圆 x225+y2m2=1\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{m^2} = 1（m>0m > 0）的左焦点为 F1(−4,0)F_{1}(-4,0)，则 m=m =（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
99

2015 · 广东 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09平面向量★☆☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知四边形 ABCDABCD 是平行四边形，AB→=(1,−2)\overrightarrow{AB} = \left(1, -2\right)，AD→=(2,1)\overrightarrow{AD} = \left(2, 1\right)，则 AD→⋅AC→=\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} =（ ）
A.
55
B.
44
C.
33
D.
22

2015 · 广东 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★★★☆
若集合 E={(p,q,r,s)∣0⩽p<s⩽4,0⩽q<s⩽4,0⩽r<s⩽4 且 p,q,r,s∈N}E = \{(p, q, r, s) \mid 0 \leqslant p < s \leqslant 4, 0 \leqslant q < s \leqslant 4, 0 \leqslant r < s \leqslant 4\text{ 且 }p, q, r, s \in \mathbf{N}\}，F={(t,u,v,w)∣0⩽t<u⩽4,0⩽v<w⩽4 且 t,u,v,w∈N}F = \{(t, u, v, w) \mid 0 \leqslant t < u \leqslant 4, 0 \leqslant v < w \leqslant 4\text{ 且 }t, u, v, w \in \mathbf{N}\}，用 card⁡(X)\operatorname{card}(X) 表示集合 XX 中元素个数，则 card⁡(E)+card⁡(F)=\operatorname{card}(E) + \operatorname{card}(F) =（ ）
A.
200200
B.
150150
C.
100100
D.
5050

2015 · 广东 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11不等式★☆☆☆☆
不等式 −x2−3x+4>0-x^{2} - 3x + 4 > 0 的解集为______.（用区间表示）

2015 · 广东 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12概率与统计★☆☆☆☆
已知样本数据 x1x_{1}，x2x_{2}，⋯\cdots，xnx_{n} 的均值 x‾=5\overline{x} = 5，则样本数据 2x1+12x_{1} + 1，2x2+12x_{2} + 1，⋯\cdots，2xn+12x_{n} + 1 的均值为______.

2015 · 广东 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13数列★☆☆☆☆
若三个正数 aa，bb，cc 成等比数列，其中 a=5+26a = 5 + 2\sqrt{6}，c=5−26c = 5 - 2\sqrt{6}，则 b=b =______.

2015 · 广东 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，以原点 OO 为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1C_1 的极坐标方程为 ρ(cos⁡θ+sin⁡θ)=−2\rho (\cos \theta + \sin \theta) = -2，曲线 C2C_2 的参数方程为
{x=t2,y=22t,\begin{cases} x = t^2,\\ y = 2\sqrt{2}t, \end{cases}
（tt 为参数），则 C1C_1 与 C2C_2 交点的直角坐标为______.

2015 · 广东 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
如图，ABAB 为圆 OO 的直径，EE 为 ABAB 延长线上一点，过 EE 作圆 OO 的切线，切点为 CC，过 AA 作直线 ECEC 的垂线，垂足为 DD. 若 AB=4AB = 4，CE=23CE = 2\sqrt{3}，则 AD=AD =______.

2015 · 广东 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★☆☆☆
已知 tan⁡α=2\tan \alpha = 2.
(1) 求 tan⁡(α+π4)\tan\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) 的值； (2) 求 sin⁡2αsin⁡2α+sin⁡αcos⁡α−cos⁡2α−1\frac{\sin 2\alpha}{\sin^{2}\alpha + \sin \alpha \cos \alpha - \cos 2\alpha - 1} 的值.

2015 · 广东 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度\text{度}），[160,180)[160, 180)，[180,200)[180, 200)，[200,220)[200, 220)，[220,240)[220, 240)，[240,260)[240, 260)，[260,280)[260, 280)，[280,300)[280, 300) 分组的频率分布直方图如图.
(1) 求直方图中 xx 的值； (2) 求月平均用电量的众数和中位数； (3) 在月平均用电量为 [220,240)[220, 240)，[240,260)[240, 260)，[260,280)[260, 280)，[280,300)[280, 300) 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在 [220,240)[220, 240) 的用户中应抽取多少户？

2015 · 广东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，三角形 PDCPDC 所在的平面与长方形 ABCDABCD 所在的平面垂直，PD=PC=4PD = PC = 4，AB=6AB = 6，BC=3BC = 3.
(1) 证明： BC∥BC \parallel 平面 PDAPDA； (2) 证明： BC⊥PDBC \perp PD； (3) 求点 CC 到平面 PDAPDA 的距离.

2015 · 广东 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，已知 a1=1a_{1} = 1，a2=32a_{2} = \frac{3}{2}，a3=54a_{3} = \frac{5}{4}，且当 n⩾2n \geqslant 2 时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn−14S_{n+2} + 5S_{n} = 8S_{n+1} + S_{n-1}.
(1) 求 a4a_{4} 的值. (2) 证明： {an+1−12an}\left\{a_{n+1}-\frac{1}{2}a_{n}\right\} 为等比数列； (3) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式.

2015 · 广东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知过原点的动直线 ll 与圆 C1:x2+y2−6x+5=0C_1: x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0 相交于不同的两点 AA，BB.
(1) 求圆 C1C_1 的圆心坐标； (2) 求线段 ABAB 的中点 MM 的轨迹 CC 的方程； (3) 是否存在实数 kk，使得直线 L:y=k(x−4)L: y = k(x - 4) 与曲线 CC 只有一个交点？若存在，求出 kk 的取值范围；若不存在，说明理由.

2015 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设 aa 为实数，函数 f(x)=(x−a)2+∣x−a∣−a(a−1)f(x) = (x - a)^2 + |x - a| - a(a - 1).
(1) 若 f(0)⩽1f(0) \leqslant 1，求 aa 的取值范围； (2) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (3) 当 a⩾2a \geqslant 2 时，讨论 f(x)+4xf(x) + \frac{4}{x} 在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 内的零点个数.

2015 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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