如图，在直三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，平面 $A_{1}BC$ $\perp$ 侧面 $A_{1}ABB_{1}$.

(1) 求证： $AB \perp BC$； (2) 若 $AA_{1} = AC = a$，直线 $AC$ 与平面 $A_{1}BC$ 所成的角为 $\theta$，二面角 $A_{1} - BC - A$ 的大小为 $\varphi$，求证：$\theta + \varphi = \frac{\pi}{2}$.

已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的两个焦点为 $F_1(-2,0)$，$F_2(2,0)$，点 $P(3, \sqrt{7})$ 在双曲线 $C$ 上.

(1) 求双曲线 $C$ 的方程； (2) 记 $O$ 为坐标原点，过点 $Q(0,2)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 相交于不同的两点 $E$，$F$，若 $\triangle OEF$ 的面积为 $2\sqrt{2}$，求直线 $l$ 的方程.

已知数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 满足： $a_1 = \lambda$，$a_{n + 1} = \frac{2}{3} a_n + n - 4$，$b_n = (-1)^n (a_n - 3n + 21)$，其中 $\lambda$ 为实数，$n$ 为正整数.

(1) 证明：对任意实数 $\lambda$，数列 $\{a_{n}\}$ 不是等比数列； (2) 证明：当 $\lambda \neq -18$ 时，数列 $\{b_n\}$ 是等比数列； (3) 设 $S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，是否存在实数 $\lambda$，使得对任意正整数 $n$，都有 $S_{n} > -12$？ 若存在，求 $\lambda$ 的取值范围；若不存在，说明理由.