如图，在底面为直角梯形的四棱锥 $P - ABCD$ 中，$AD \parallel BC$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$PA \perp$ 平面 $ABCD$，$PA = 3$，$AD = 2$，$AB = 2\sqrt{3}$，$BC = 6$.

(1) 求证：$BD \perp$ 平面 $PAC$； (2) 求二面角 $P - BD - A$ 的大小.

已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$，短轴一个端点到右焦点的距离为 $\sqrt{3}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 设直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，坐标原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，求 $\triangle AOB$ 面积的最大值.