设函数 $f(x) = -\frac{x}{1 + |x|}$（$x \in \mathbf{R}$），区间 $M = [a, b]$（$a < b$），集合 $N = \{y \mid y = f(x), x \in M\}$，则使 $M = N$ 成立的实数对 $(a, b)$ 有（$\quad$）

设无穷等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$.

(1) 若首项 $a_1 = \frac{3}{2}$，公差 $d = 1$，求满足 $S_{k^2} = (S_k)^2$ 的正整数 $k$； (2) 求所有的无穷等差数列 $\{a_{n}\}$，使得对于一切正整数 $k$ 都有 $S_{k^2} = (S_k)^2$ 成立.