如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”. 在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是______.

三个同学对问题“关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + 25 + |x^{3} - 5x^{2}| \geqslant ax$ 在 $[1, 12]$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”. 乙说：“把不等式变形为左边含变量 $x$ 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”. 丙说：“把不等式两边看成关于 $x$ 的函数，作出函数图象”. 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 $a$ 的取值范围是______.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 2x$ 相交于 $A$，$B$ 两点.

(1) 求证：“如果直线 $l$ 过点 $T(3,0)$，那么 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 3$” 是真命题； (2) 写出第一问中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.

已知有穷数列 $\{a_{n}\}$ 共有 $2k$ 项（整数 $k \geqslant 2$），首项 $a_{1} = 2$. 设该数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，且 $a_{n+1} = (a-1)S_{n} + 2$（$n = 1$，$2$，$\cdots$，$2k-1$）. 其中常数 $a > 1$.

(1) 求证：数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列； (2) 若 $a = 2^{\frac{2}{2k-1}}$，数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_n = \frac{1}{n}\log_2(a_1a_2\cdots a_n)$（$n = 1$，$2$，$\cdots$，$2k$），求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式； (3) 若第二问中的数列 $\{b_n\}$ 满足不等式 $\left|b_1 - \frac{3}{2}\right| + \left|b_2 - \frac{3}{2}\right| + \cdots + \left|b_{2k-1} - \frac{3}{2}\right| + \left|b_{2k} - \frac{3}{2}\right| \leqslant 4$，求 $k$ 的值.