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01集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知集合 A={−1,3,2m−1}A = \{-1, 3, 2m - 1\}，集合 B={3,m2}B = \{3, m^2\}，若 B⊆AB \subseteq A，则实数 m=m =______.

2006 · 上海 · 理 · 第 1 题 · 填空题

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02解析几何★★☆☆☆
已知圆 x2−4x−4+y2=0x^{2} - 4x - 4 + y^{2} = 0 的圆心是点 PP，则点 PP 到直线 x−y−1=0x - y - 1 = 0 的距离是______.

2006 · 上海 · 理 · 第 2 题 · 填空题

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03指数函数与对数函数★☆☆☆☆
若函数 f(x)=axf(x) = a^x（a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1）的反函数的图象过点 (2,−1)(2,-1)，则 a=a =______.

2006 · 上海 · 理 · 第 3 题 · 填空题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
计算 lim⁡n→∞Cn3n3+1=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\mathrm C_n^3}{n^3 + 1} =______.

2006 · 上海 · 理 · 第 4 题 · 填空题

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05复数★★☆☆☆
若复数 zz 同时满足 z−z‾=2iz - \overline{z} = 2\mathrm{i}，z‾=iz\overline{z} = \mathrm{i} z （i\mathrm{i} 为虚数单位），则 z=‾z =\underline{\hspace{2em}}.

2006 · 上海 · 理 · 第 5 题 · 填空题

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06三角函数★★☆☆☆
如果 cos⁡α=15\cos \alpha = \frac{1}{5}，且 α\alpha 是第四象限的角，那么 cos⁡(α+π2)=\cos \left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) =______.

2006 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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07解析几何★★☆☆☆
已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F(−23,0)F(-2\sqrt{3}, 0)，且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是______.

2006 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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08解析几何★★☆☆☆
在极坐标系中，OO 是极点，设点 A(4,π3)A\left(4, \frac{\pi}{3}\right)，B(5,−5π6)B\left(5, -\frac{5\pi}{6}\right)，则 △OAB\triangle OAB 的面积是______.

2006 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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09概率与统计★★★☆☆
两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成. 每卷 1 本1\text{ 本}，共 8 本8\text{ 本}. 将它们任意地排成一排，左边 4 本4\text{ 本} 恰好都属于同一部小说的概率是______. （结果用分数表示）

2006 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10立体几何初步★★★★☆
如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”. 在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是______.

2006 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★★☆☆
若曲线 y2=∣x∣+1y^{2} = |x| + 1 与直线 y=kx+by = kx + b 没有公共点，则 kk，bb 分别应满足的条件是______.

2006 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12不等式★★★★☆
三个同学对问题“关于 xx 的不等式 x2+25+∣x3−5x2∣⩾axx^{2} + 25 + |x^{3} - 5x^{2}| \geqslant ax 在 [1,12][1, 12] 上恒成立，求实数 aa 的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”. 乙说：“把不等式变形为左边含变量 xx 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”. 丙说：“把不等式两边看成关于 xx 的函数，作出函数图象”. 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 aa 的取值范围是______.

2006 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13平面向量★☆☆☆☆
如图，在平行四边形 ABCDABCD 中，下列结论中错误的是（ ）
A.
AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}
B.
AD→+AB→=AC→\overrightarrow{AD} +\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}
C.
AB→−AD→=BD→\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD}
D.
AD→+CB→=0→\overrightarrow{AD} +\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{0}

2006 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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14集合与逻辑基础★★☆☆☆
若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的（ ）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充分必要条件
D.
既非充分又非必要条件

2006 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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15不等式★★★☆☆
若关于 xx 的不等式 (1+k2)x⩽k4+4(1 + k^2)x \leqslant k^4 + 4 的解集是 MM，则对任意实数 kk，总有（ ）
A.
2∈M2 \in M，0∈M0 \in M
B.
22 不属于 MM，00 不属于 MM
C.
2∈M2 \in M，00 不属于 MM
D.
22 不属于 MM，0∈M0 \in M

2006 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16解析几何★★★☆☆
如图，平面中两条直线 l1l_{1} 和 l2l_{2} 相交于点 OO，对于平面上任意一点 MM，若 pp，qq 分别是 MM 到直线 l1l_{1} 和 l2l_{2} 的距离，则称有序非负实数对 (p,q)(p, q) 是点 MM 的“距离坐标”. 已知常数 p⩾0p \geqslant 0，q⩾0q \geqslant 0，给出下列命题：
① 若 p=q=0p = q = 0，则“距离坐标”为 (0,0)(0, 0) 的点有且仅有 1 个； ② 若 pq=0pq = 0，且 p+q≠0p + q \neq 0，则“距离坐标”为 (p,q)(p, q) 的点有且仅有 2 个； ③ 若 pq≠0pq \neq 0，则“距离坐标”为 (p,q)(p, q) 的点有且仅有 4 个.
上述命题中，正确命题的个数是（ ）
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3

2006 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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17三角函数★★☆☆☆
求函数 y=2cos⁡(x+π4)cos⁡(x−π4)+3sin⁡2xy = 2\cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) + \sqrt{3} \sin 2x 的值域和最小正周期.

2006 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
如图，当甲船位于 AA 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里20\text{ 海里} 的 BB 处有一艘渔船遇险等待营救. 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30∘30^{\circ}，相距 10 海里10\text{ 海里} 的 CC 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 BB 处救援. （角度精确到 1∘1^{\circ}）

2006 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面是边长为 22 的菱形. ∠DAB=60∘\angle DAB = 60^{\circ}，对角线 ACAC 与 BDBD 相交于点 OO，PO⊥PO \perp 平面 ABCDABCD，PBPB 与平面 ABCDABCD 所成的角为 60∘60^{\circ}.
(1) 求四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的体积； (2) 若 EE 是 PBPB 的中点，求异面直线 DEDE 与 PAPA 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）

2006 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，直线 ll 与抛物线 y2=2xy^{2} = 2x 相交于 AA，BB 两点.
(1) 求证：“如果直线 ll 过点 T(3,0)T(3,0)，那么 OA→⋅OB→=3\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 3” 是真命题； (2) 写出第一问中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.

2006 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
已知有穷数列 {an}\{a_{n}\} 共有 2k2k 项（整数 k⩾2k \geqslant 2），首项 a1=2a_{1} = 2. 设该数列的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 an+1=(a−1)Sn+2a_{n+1} = (a-1)S_{n} + 2（n=1n = 1，22，⋯\cdots，2k−12k-1）. 其中常数 a>1a > 1.
(1) 求证：数列 {an}\{a_{n}\} 是等比数列； (2) 若 a=222k−1a = 2^{\frac{2}{2k-1}}，数列 {bn}\{b_n\} 满足 bn=1nlog⁡2(a1a2⋯an)b_n = \frac{1}{n}\log_2(a_1a_2\cdots a_n)（n=1n = 1，22，⋯\cdots，2k2k），求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (3) 若第二问中的数列 {bn}\{b_n\} 满足不等式 ∣b1−32∣+∣b2−32∣+⋯+∣b2k−1−32∣+∣b2k−32∣⩽4\left|b_1 - \frac{3}{2}\right| + \left|b_2 - \frac{3}{2}\right| + \cdots + \left|b_{2k-1} - \frac{3}{2}\right| + \left|b_{2k} - \frac{3}{2}\right| \leqslant 4，求 kk 的值.

2006 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★★
已知函数 y=x+axy = x + \frac{a}{x} 有如下性质：如果常数 a>0a > 0，那么该函数在 (0,a](0, \sqrt{a}] 上是减函数，在 [a,+∞)[\sqrt{a}, +\infty) 上是增函数.
(1) 如果函数 y=x+2bxy = x + \frac{2^{b}}{x}（x>0x > 0）的值域为 [6,+∞)[6, +\infty)，求 bb 的值； (2) 研究函数 y=x2+cx2y = x^{2} + \frac{c}{x^{2}} （常数 c>0c > 0） 在定义域内的单调性，并说明理由； (3) 对函数 y=x+axy = x + \frac{a}{x} 和 y=x2+ax2y = x^{2} + \frac{a}{x^{2}} （常数 a>0a > 0） 作出推广，使它们都是你所推广的函数的情况. 研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数 F(x)=(x2+1x)n+(1x2+x)nF(x) = \left(x^{2} + \frac{1}{x}\right)^{n} + \left(\frac{1}{x^{2}} + x\right)^{n} （nn 是正整数）在区间 [12,2]\left[\frac{1}{2}, 2\right] 上的最大值和最小值. （可利用你的研究结论）

2006 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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