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08函数与初等函数★★★★☆
对实数 aa 和 bb，定义运算“⊗\otimes”：
a⊗b={a,a−b⩽1,b,a−b>1.a \otimes b = \begin{cases} a, & a - b \leqslant 1,\\ b, & a - b > 1. \end{cases}
设函数 f(x)=(x2−2)⊗(x−1)f(x) = (x^{2} - 2) \otimes (x - 1)，x∈Rx \in \mathbf{R}. 若函数 y=f(x)−cy = f(x) - c 的图象与 xx 轴恰有两个公共点，则实数 cc 的取值范围是（ ）
A.
(−1,1]∪(2,+∞)(-1,1]\cup (2, + \infty)
B.
(−2,−1]∪(1,2](-2, - 1] \cup (1, 2]
C.
(−∞,−2)∪(1,2](-\infty, -2) \cup (1, 2]
D.
[−2,−1][-2, - 1]

2011 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面 ABCDABCD 为平行四边形，∠ADC=45∘\angle ADC = 45^{\circ}，AD=AC=1AD = AC = 1，OO 为 ACAC 中点，PO⊥PO \perp 平面 ABCDABCD，PO=2PO = 2，MM 为 PDPD 中点.
(1) 证明： PB∥PB \parallel 平面 ACMACM； (2) 证明： AD⊥AD \perp 平面 PACPAC； (3) 求直线 AMAM 与平面 ABCDABCD 所成角的正切值.

2011 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^{2}} + \frac{y^2}{b^{2}} = 1 （a>b>0a > b > 0）的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 点 P(a,b)P(a, b) 满足 ∣PF2∣=∣F1F2∣|PF_2| = |F_1F_2|.
(1) 求椭圆的离心率 ee； (2) 设直线 PF2PF_{2} 与椭圆相交于 AA，BB 两点，若直线 PF2PF_{2} 与圆 (x+1)2+(y−3)2=16(x + 1)^{2} + (y - \sqrt{3})^{2} = 16 相交于 MM，NN 两点，且 ∣MN∣=58∣AB∣|MN| = \frac{5}{8} |AB|，求椭圆的方程.

2011 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=4x3+3tx2−6t2x+t−1f(x) = 4x^{3} + 3tx^{2} - 6t^{2}x + t - 1，x∈Rx \in \mathbf{R}，其中 t∈Rt \in \mathbf{R}.
(1) 当 t=1t = 1 时，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程； (2) 当 t≠0t \neq 0 时，求 f(x)f(x) 的单调区间； (3) 证明：对任意的 t∈(0,+∞)t \in (0, +\infty)，f(x)f(x) 在区间 (0,1)(0, 1) 内均存在零点.

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