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01复数★☆☆☆☆
i\mathrm{i} 是虚数单位，复数 1−3i1−i=\frac{1 - 3\mathrm{i}}{1 - \mathrm{i}} =（ ）
A.
2−i2 - \mathrm{i}
B.
2+i2 + \mathrm{i}
C.
−1−2i-1 - 2\mathrm{i}
D.
−1+2i-1 + 2\mathrm{i}

2011 · 天津 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02不等式★★☆☆☆
设变量 xx，yy 满足的约束条件
{x⩾1,x+y−4⩽0,x−3y+4⩽0\begin{cases} x\geqslant 1,\\ x+y-4\leqslant 0,\\ x-3y+4\leqslant 0 \end{cases}
，则目标函数 z=3x−yz = 3x - y 的最大值为（ ）
A.
−4-4
B.
00
C.
43\frac{4}{3}
D.
44

2011 · 天津 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
阅读程序框图，运行相应的程序，若输入 xx 的值为 −4-4，则输出 yy 的值为（ ）
A.
0.50.5
B.
11
C.
22
D.
44

2011 · 天津 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04集合与逻辑基础★★☆☆☆
设集合 A={x∈R∣x−2>0}A = \{x \in \mathbf{R} \mid x - 2 > 0\}，B={x∈R∣x<0}B = \{x \in \mathbf{R} \mid x < 0\}，C={x∈R∣x(x−2)>0}C = \{x \in \mathbf{R} \mid x(x - 2) > 0\}，则“x∈A∪Bx \in A \cup B”是“x∈Cx \in C”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2011 · 天津 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a=log⁡23.6a = \log_2 3.6，b=log⁡43.2b = \log_4 3.2，c=log⁡43.6c = \log_4 3.6 则（ ）
A.
a>b>ca > b > c
B.
a>c>ba > c > b
C.
b>a>cb > a > c
D.
c>a>bc > a > b

2011 · 天津 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★★★☆☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^{2}} - \frac{y^2}{b^{2}} = 1 （a>0a > 0，b>0b > 0）的左顶点与抛物线 y2=2pxy^2 = 2px （p>0p > 0） 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 (−2,−1)(-2, -1)，则双曲线的焦距为（ ）
A.
232\sqrt{3}
B.
252\sqrt{5}
C.
434\sqrt{3}
D.
454\sqrt{5}

2011 · 天津 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=2sin⁡(ωx+φ)f(x) = 2\sin (\omega x + \varphi)，x∈Rx \in \mathbf{R}，其中 ω>0\omega > 0，−π<φ⩽π-\pi < \varphi \leqslant \pi. 若 f(x)f(x) 的最小正周期为 6π6\pi，且当 x=π2x = \frac{\pi}{2} 时，f(x)f(x) 取得最大值，则（ ）
A.
f(x)f(x) 在区间 [−2π,0][-2\pi, 0] 上是增函数
B.
f(x)f(x) 在区间 [−3π,−π][-3\pi, -\pi] 上是增函数
C.
f(x)f(x) 在区间 [3π,5π][3\pi, 5\pi] 上是减函数
D.
f(x)f(x) 在区间 [4π,6π][4\pi, 6\pi] 上是减函数

2011 · 天津 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
对实数 aa 和 bb，定义运算“⊗\otimes”：
a⊗b={a,a−b⩽1,b,a−b>1.a \otimes b = \begin{cases} a, & a - b \leqslant 1,\\ b, & a - b > 1. \end{cases}
设函数 f(x)=(x2−2)⊗(x−1)f(x) = (x^{2} - 2) \otimes (x - 1)，x∈Rx \in \mathbf{R}. 若函数 y=f(x)−cy = f(x) - c 的图象与 xx 轴恰有两个公共点，则实数 cc 的取值范围是（ ）
A.
(−1,1]∪(2,+∞)(-1,1]\cup (2, + \infty)
B.
(−2,−1]∪(1,2](-2, - 1] \cup (1, 2]
C.
(−∞,−2)∪(1,2](-\infty, -2) \cup (1, 2]
D.
[−2,−1][-2, - 1]

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09集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∈R∣∣x−1∣<2}A = \{x \in \mathbf{R} \mid |x - 1| < 2\}，Z\mathbf{Z} 为整数集，则集合 A∩ZA \cap \mathbf{Z} 中所有元素的和等于______.

2011 · 天津 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10立体几何初步★★☆☆☆
一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为______m3\mathrm{m}^{3}.

2011 · 天津 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 为等差数列，SnS_{n} 为其前 nn 项和. n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}. 若 a3=16a_{3} = 16，S20=20S_{20} = 20，则 S10S_{10} 的值为______.

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12指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 log⁡2a+log⁡2b⩾1\log_2 a + \log_2 b \geqslant 1，则 3a+9b3^a + 9^b 的最小值为______.

2011 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
如图，已知圆中两条弦 ABAB 与 CDCD 相交于点 FF，EE 是 ABAB 延长线上一点，且 DF=CF=2DF = CF = \sqrt{2}，AF:FB:BE=4:2:1AF:FB:BE = 4:2:1. 若 CECE 与圆相切，则 CECE 的长为______.

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14平面向量★★★☆☆
已知直角梯形 ABCDABCD 中，AD∥BCAD \parallel BC，∠ADC=90∘\angle ADC = 90^{\circ}，AD=2AD = 2，BC=1BC = 1，PP 是腰 DCDC 上的动点，则 ∣PA→+3PB→∣\left|\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}\right| 的最小值为______.

2011 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15概率与统计★★★☆☆
编号分别为 A1A_{1}，A2A_{2}，⋯\cdots，A16A_{16} 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
(1) 将得分在对应区间内的人数填入相应的空格； (2) 从得分在区间 [20,30)[20, 30) 内的运动员中随机抽取 2 人，
(i) 用运动员编号列出所有可能的抽取结果； (ii) 求这 2 人得分之和大于 50 的概率.

2011 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 B=CB = C，2b=3a2b = \sqrt{3}a.
(1) 求 cos⁡A\cos A 的值； (2) cos⁡(2A+π4)\cos \left(2A + \frac{\pi}{4}\right) 的值.

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面 ABCDABCD 为平行四边形，∠ADC=45∘\angle ADC = 45^{\circ}，AD=AC=1AD = AC = 1，OO 为 ACAC 中点，PO⊥PO \perp 平面 ABCDABCD，PO=2PO = 2，MM 为 PDPD 中点.
(1) 证明： PB∥PB \parallel 平面 ACMACM； (2) 证明： AD⊥AD \perp 平面 PACPAC； (3) 求直线 AMAM 与平面 ABCDABCD 所成角的正切值.

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^{2}} + \frac{y^2}{b^{2}} = 1 （a>b>0a > b > 0）的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 点 P(a,b)P(a, b) 满足 ∣PF2∣=∣F1F2∣|PF_2| = |F_1F_2|.
(1) 求椭圆的离心率 ee； (2) 设直线 PF2PF_{2} 与椭圆相交于 AA，BB 两点，若直线 PF2PF_{2} 与圆 (x+1)2+(y−3)2=16(x + 1)^{2} + (y - \sqrt{3})^{2} = 16 相交于 MM，NN 两点，且 ∣MN∣=58∣AB∣|MN| = \frac{5}{8} |AB|，求椭圆的方程.

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19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=4x3+3tx2−6t2x+t−1f(x) = 4x^{3} + 3tx^{2} - 6t^{2}x + t - 1，x∈Rx \in \mathbf{R}，其中 t∈Rt \in \mathbf{R}.
(1) 当 t=1t = 1 时，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程； (2) 当 t≠0t \neq 0 时，求 f(x)f(x) 的单调区间； (3) 证明：对任意的 t∈(0,+∞)t \in (0, +\infty)，f(x)f(x) 在区间 (0,1)(0, 1) 内均存在零点.

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20数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 与 {bn}\{b_{n}\} 满足： bn+1an+bnan+1=(−2)n+1b_{n+1}a_{n} + b_{n}a_{n+1} = (-2)^{n} + 1，bn=3+(−1)n−12b_{n} = \frac{3 + (-1)^{n-1}}{2}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，且 a1=2a_{1} = 2.
(1) 求 a2a_{2}，a3a_{3} 的值； (2) 设 cn=a2n+1−a2n−1c_{n} = a_{2n + 1} - a_{2n - 1}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，证明：数列 {cn}\{c_{n}\} 是等比数列； (3) 设 SnS_{n} 为 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，证明 S1a1+S2a2+…+S2n−1a2n−1+S2na2n⩽n−13\frac{S_{1}}{a_{1}} + \frac{S_{2}}{a_{2}} + \ldots + \frac{S_{2n-1}}{a_{2n-1}} + \frac{S_{2n}}{a_{2n}} \leqslant n - \frac{1}{3} （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.

2011 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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