已知函数 $y = f(x)$（定义域为 $D$，值域为 $A$）有反函数 $y = f^{-1}(x)$，则方程 $f(x) = 0$ 有解 $x = a$，且 $f(x) > x$（$x \in D$）的充要条件是 $y = f^{-1}(x)$ 满足______.

\begin{answer} $f^{-1}(0)=a$，且 $f^{-1}(x)<x$（$x\in A$） \end{answer}

\begin{solution} 由方程 $f(x)=0$ 有解 $x=a$，可知 $f(a)=0$. 因为 $f$ 有反函数，故 $0\in A$，且对等式两边作用 $f^{-1}$，得 $f^{-1}(0)=a$.

再设 $x\in D$，令 $y=f(x)$，则 $y\in A$，并且 所以 $f(x)>x$ 对任意 $x\in D$ 成立，当且仅当 $f^{-1}(y)<y$ 对任意 $y\in A$ 成立. 将 $y$ 改记为 $x$，所求条件为 $f^{-1}(x)<x$（$x\in A$）. \end{solution}

已知函数 $f(x) = a \times b^x$ 的图象过点 $A\left(4, \frac{1}{4}\right)$ 和 $B(5,1)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式； (2) 记 $a_{n} = \log_{2}f(n)$，$n$ 是正整数，$S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，解关于 $n$ 的不等式 $a_{n}S_{n} \leqslant 0$； (3) 对于（2）中的 $a_{n}$ 与 $S_{n}$，整数 $10^{4}$ 是否为数列 $\{a_{n}S_{n}\}$ 中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.

规定 $\mathrm C_{x}^{m} = \dfrac{x(x - 1)\cdots(x - m + 1)}{m!}$，其中 $x \in \mathbf{R}$，$m$ 是正整数，且 $\mathrm C_{x}^{0} = 1$，这是组合数 $\mathrm C_{n}^{m}$（$n$，$m$ 是正整数，且 $m \leqslant n$）的一种推广.

(1) 求 $\mathrm C_{-15}^{5}$ 的值. (2) 组合数的两个性质：

① $\mathrm C_{n}^{m} = \mathrm C_{n}^{n - m}$； ② $\mathrm C_{n}^{m} + \mathrm C_{n}^{m - 1} = \mathrm C_{n + 1}^{m}$.

是否都能推广到 $\mathrm C_{x}^{m}$（$x \in \mathbf{R}$，$m$ 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由； (3) 已知组合数 $\mathrm C_{n}^{m}$ 是正整数，证明：当 $x \in \mathbf{Z}$，$m$ 是正整数时，$\mathrm C_{x}^{m} \in \mathbf{Z}$.