在 $xOy$ 平面上，四边形 $ABCD$ 的四个顶点坐标依次为 $(0,0)$，$(1,0)$，$(2,1)$ 及 $(0,3)$，求这个四边形绕 $x$ 轴旋转一周所得到的几何体的体积.

如图，在平面直角坐标系中，在 $y$ 轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点 $A$，$B$. 试在 $x$ 轴的正半轴（坐标原点除外）上求点 $C$，使 $\angle ACB$ 取得最大值.

过点 $M(-1,0)$ 的直线 $L_1$ 与抛物线 $y^2 = 4x$ 交于 $P_1$，$P_2$ 两点. 记线段 $P_1P_2$ 的中点为 $P$. 过点 $P$ 和这个抛物线的焦点 $F$ 的直线为 $L_2$. 若 $L_1$ 的斜率为 $k$，试把直线 $L_2$ 的斜率与直线 $L_1$ 的斜率之比表示为 $k$ 的函数，并指出这个函数的定义域，单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.

已知 $x_1 > 0$，$x_1 \neq 1$，且 $x_{n+1} = \frac{x_n(x_n^2 + 3)}{3x_n^2 + 1}$，（$n = 1$，$2$，$\cdots$）. 试证：数列 $\{x_n\}$ 或者对任意自然数 $n$ 都满足 $x_n < x_{n+1}$，或者对任意自然数 $n$ 都满足 $x_n > x_{n+1}$.