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01复数★☆☆☆☆
在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（ ）
A.
2(cos⁡π4−isin⁡π4)2\left(\cos \frac{\pi}{4} - \mathrm{i}\sin \frac{\pi}{4}\right)
B.
2(cos⁡π4+isin⁡π4)2\left(\cos \frac{\pi}{4} + \mathrm{i}\sin \frac{\pi}{4}\right)
C.
2(sin⁡π4+icos⁡π4)2\left(\sin \frac{\pi}{4} + \mathrm{i}\cos \frac{\pi}{4}\right)
D.
−2(sin⁡π4−icos⁡π4)-2\left(\sin \frac{\pi}{4} - \mathrm{i}\cos \frac{\pi}{4}\right)

1986 · 全国 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02指数函数与对数函数★★☆☆☆
函数 y=(0.2)−x+1y = (0.2)^{-x} + 1 的反函数是（ ）
A.
y=log⁡5(x+1)y = \log_5 (x + 1)
B.
y=log⁡x5+1y = \log_x 5 + 1
C.
y=log⁡5(x−1)y = \log_5 (x - 1)
D.
y=log⁡5x−1y = \log_5 x - 1

1986 · 全国 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★☆☆☆☆
极坐标方程 ρcos⁡θ=43\rho \cos \theta = \frac{4}{3} 表示（ ）
A.
一条平行于 xx 轴的直线
B.
一条垂直于 xx 轴的直线
C.
一个圆
D.
一条抛物线

1986 · 全国 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
函数 y=2sin⁡2xcos⁡2xy = \sqrt{2}\sin 2x \cos 2x 是（ ）
A.
周期为 π2\frac{\pi}{2} 的奇函数
B.
周期为 π2\frac{\pi}{2} 的偶函数
C.
周期为 π4\frac{\pi}{4} 的奇函数
D.
周期为 π4\frac{\pi}{4} 的偶函数

1986 · 全国 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05概率与统计★☆☆☆☆
给出 2020 个数：8787，9191，9494，8888，9393，9191，8989，8787，9292，8686，9090，9292，8888，9090，9191，8686，8989，9292，9595，8888，它们的和是（ ）
A.
17891789
B.
17991799
C.
18791879
D.
18991899

1986 · 全国 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06集合与逻辑基础★★★☆☆
设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的（ ）
A.
充分条件
B.
必要条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要的条件

1986 · 全国 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
如果方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0（D2+E2−4F>0D^2 + E^2 - 4F > 0）所表示的曲线关于直线 y=xy = x 对称，那么必有（ ）
A.
D=ED = E
B.
D=FD = F
C.
E=FE = F
D.
D=E=FD = E = F

1986 · 全国 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★☆☆
在正方形 SG1G2G3SG_1G_2G_3 中，EE，FF 分别是 G1G2G_1G_2 及 G2G3G_2G_3 的中点，DD 是 EFEF 的中点. 现在沿 SESE，SFSF 及 EFEF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1G_1，G2G_2，G3G_3 三点重合，重合后的点记为 GG，那么，在四面体 S−EFGS - EFG 中必有（ ）
A.
SG⊥△EFGSG \perp \triangle EFG 所在平面
B.
SD⊥△EFGSD \perp \triangle EFG 所在平面
C.
GF⊥△SEFGF \perp \triangle SEF 所在平面
D.
GD⊥△SEFGD \perp \triangle SEF 所在平面

1986 · 全国 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
在下列各图中，y=ax2+bxy = ax^2 + bx 与 y=ax+by = ax + b（ab≠0ab \neq 0）的图象只可能是（ ）
A.
B.
C.
D.

1986 · 全国 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10三角函数★★★☆☆
当 x∈[−1,0]x \in [-1,0] 时，在下面关系式中正确的是（ ）
A.
π−arccos⁡(−x)=arcsin⁡1−x2\pi - \arccos (-x) = \arcsin \sqrt{1 - x^2}
B.
π−arcsin⁡(−x)=arccos⁡1−x2\pi - \arcsin (-x) = \arccos \sqrt{1 - x^2}
C.
π−arccos⁡x=arcsin⁡1−x2\pi - \arccos x = \arcsin \sqrt{1 - x^2}
D.
π−arcsin⁡x=arccos⁡1−x2\pi - \arcsin x = \arccos \sqrt{1 - x^2}

1986 · 全国 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11指数函数与对数函数★★☆☆☆
求方程 25x2+x−0.5=54\sqrt{25^{x^2 + x - 0.5}} = \sqrt[4]{5} 的解.

1986 · 全国 · 理 · 第 11 题 · 解答题

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12复数★☆☆☆☆
已知 ω=−1−3i2\omega = \frac{-1 - \sqrt{3}\mathrm{i}}{2}，求 ω2+ω+1\omega^2 + \omega + 1 的值.

1986 · 全国 · 理 · 第 12 题 · 解答题

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13立体几何初步★★★★☆
在 xOyxOy 平面上，四边形 ABCDABCD 的四个顶点坐标依次为 (0,0)(0,0)，(1,0)(1,0)，(2,1)(2,1) 及 (0,3)(0,3)，求这个四边形绕 xx 轴旋转一周所得到的几何体的体积.

1986 · 全国 · 理 · 第 13 题 · 解答题

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14数列★★☆☆☆
求 lim⁡n→∞3n+(−2)n3n+1+(−2)n+1\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{3^n + (-2)^n}{3^{n + 1} + (-2)^{n + 1}}.

1986 · 全国 · 理 · 第 14 题 · 解答题

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15计数原理与组合数学★★☆☆☆
求 (2x3−1x2)5\left(2x^3 - \frac{1}{x^2}\right)^5 展开式中的常数项.

1986 · 全国 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★☆☆☆
已知 sin⁡θ−cos⁡θ=12\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{2}，求 sin⁡3θ−cos⁡3θ\sin^3 \theta - \cos^3 \theta 的值.

1986 · 全国 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★☆☆☆
如图，ABAB 是圆 OO 的直径，PAPA 垂直于圆 OO 所在的平面，CC 是圆周上不同于 AA，BB 的任一点. 求证：平面 PACPAC 垂直于平面 PBCPBC.

1986 · 全国 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18指数函数与对数函数★★★☆☆
当 sin⁡2x>0\sin 2x > 0 时，求不等式 log⁡0.5(x2−2x−15)>log⁡0.5(x+13)\log_{0.5}(x^2 - 2x - 15) > \log_{0.5}(x + 13) 的解集.

1986 · 全国 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系中，在 yy 轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点 AA，BB. 试在 xx 轴的正半轴（坐标原点除外）上求点 CC，使 ∠ACB\angle ACB 取得最大值.

1986 · 全国 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20集合与逻辑基础★★★☆☆
已知集合 AA 和集合 BB 各含有 1212 个元素，A∩BA \cap B 含有 44 个元素，试求同时满足下面两个条件的集合 CC 的个数：
① C⊆A∪BC \subseteq A \cup B 且 CC 中含有 33 个元素； ② C∩A≠∅C \cap A \neq \varnothing（∅\varnothing 表示空集）.

1986 · 全国 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
过点 M(−1,0)M(-1,0) 的直线 L1L_1 与抛物线 y2=4xy^2 = 4x 交于 P1P_1，P2P_2 两点. 记线段 P1P2P_1P_2 的中点为 PP. 过点 PP 和这个抛物线的焦点 FF 的直线为 L2L_2. 若 L1L_1 的斜率为 kk，试把直线 L2L_2 的斜率与直线 L1L_1 的斜率之比表示为 kk 的函数，并指出这个函数的定义域，单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.

1986 · 全国 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
已知 x1>0x_1 > 0，x1≠1x_1 \neq 1，且 xn+1=xn(xn2+3)3xn2+1x_{n+1} = \frac{x_n(x_n^2 + 3)}{3x_n^2 + 1}，（n=1n = 1，22，⋯\cdots）. 试证：数列 {xn}\{x_n\} 或者对任意自然数 nn 都满足 xn<xn+1x_n < x_{n+1}，或者对任意自然数 nn 都满足 xn>xn+1x_n > x_{n+1}.

1986 · 全国 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23导数及其应用★☆☆☆☆
求 y=xarctan⁡x2y = x \arctan x^2 的导数.

1986 · 全国 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24导数及其应用★★☆☆☆
求过点 (−1,0)(-1,0) 并与曲线 y=x+1x+2y = \frac{x + 1}{x + 2} 相切的直线方程.

1986 · 全国 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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