已知 $a$，$b$ 为常数，且 $a \neq 0$. 函数 $f(x) = -ax + b + ax \ln x$，$f(\mathrm{e}) = 2$（$\mathrm{e} = 2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数）.

(1) 求实数 $b$ 的值； (2) 求函数 $f(x)$ 的单调区间； (3) 当 $a = 1$ 时，是否同时存在实数 $m$ 和 $M$（$m < M$），使得对每一个 $t \in [m, M]$，直线 $y = t$ 与曲线 $y = f(x)$（$x \in \left[ \frac{1}{\mathrm{e}}, \mathrm{e} \right]$）都有公共点？若存在，求出最小的实数 $m$ 和最大的实数 $M$；若不存在，说明理由.