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14函数与初等函数★★★★☆
已知 a>0a>0，函数
f(x)={x2+2ax+a,x≤0,−x2+2ax−2a,x>0f(x)=\begin{cases} x^2+2ax+a, & x\le0,\\ -x^2+2ax-2a, & x>0 \end{cases}
若关于 xx 的方程 f(x)=axf(x)=ax 恰有 2 个互异的实数解，则 aa 的取值范围是______.

2018 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，AD∥BCAD\parallel BC 且 AD=2BCAD=2BC，AD⊥CDAD\perp CD，EG∥ADEG\parallel AD 且 EG=ADEG=AD，CD∥FGCD\parallel FG 且 CD=2FGCD=2FG，DG⊥DG\perp 平面 ABCDABCD，DA=DC=DG=2DA=DC=DG=2.
(1) 若 MM 为 CFCF 的中点，NN 为 EGEG 的中点，求证：MN∥MN\parallel 平面 CDECDE； (2) 求二面角 E−BC−FE-BC-F 的正弦值； (3) 若点 PP 在线段 DGDG 上，且直线 BPBP 与平面 ADGEADGE 所成的角为 60∘60^\circ，求线段 DPDP 的长.

2018 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是等比数列，公比大于 00，其前 nn 项和为 SnS_n （n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），{bn}\{b_n\} 是等差数列. 已知 a1=1a_1=1，a3=a2+2a_3=a_2+2，a4=b3+b5a_4=b_3+b_5，a5=b4+2b6a_5=b_4+2b_6.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 设数列 {Sn}\{S_n\} 的前 nn 项和为 TnT_n （n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），
(i) 求 TnT_n； (ii) 证明 ∑k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=2n+2n+2−2\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{(T_k+b_k+2)b_k}{(k+1)(k+2)}=\frac{2^{n+2}}{n+2}-2 （n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.

2018 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 （a>b>0a>b>0） 的左焦点为 FF，上顶点为 BB. 已知椭圆的离心率为 53\dfrac{\sqrt5}{3}，点 AA 的坐标为 (b,0)(b,0)，且 FB⋅AB=62FB\cdot AB=6\sqrt2.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设直线 l:y=kxl:y=kx （k>0k>0） 与椭圆在第一象限的交点为 PP，且 ll 与直线 ABAB 交于点 QQ.
若 AQPQ=524sin⁡∠AOQ\dfrac{AQ}{PQ}=\dfrac{5\sqrt2}{4}\sin\angle AOQ（OO 为原点），求 kk 的值.

2018 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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