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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣0<x<2}A=\{x\mid 0<x<2\}，B={x∣x≥1}B=\{x\mid x\ge1\}，则 A∩(CRB)=A\cap(C_{\mathbf{R}}B)=（ ）
A.
{x∣0<x≤1}\{x\mid 0<x\le1\}
B.
{x∣0<x<1}\{x\mid 0<x<1\}
C.
{x∣1≤x<2}\{x\mid 1\le x<2\}
D.
{x∣0<x<2}\{x\mid 0<x<2\}

2018 · 天津 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02不等式★★☆☆☆
设变量 xx，yy 满足约束条件
{x+y≤5,2x−y≤4,−x+y≤1,y≥0,\begin{cases} x+y\le5,\\ 2x-y\le4,\\ -x+y\le1,\\ y\ge0, \end{cases}
则目标函数 z=3x+5yz=3x+5y 的最大值为（ ）
A.
66
B.
1919
C.
2121
D.
4545

2018 · 天津 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03计数原理与组合数学★★☆☆☆
阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 NN 的值为 2020，则输出 TT 的值为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2018 · 天津 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 x∈Rx\in\mathbf{R}，则“∣x−12∣<12\left\lvert x-\dfrac12\right\rvert<\dfrac12”是“x3<1x^3<1”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2018 · 天津 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 a=log⁡2ea=\log_2\mathrm{e}，b=ln⁡2b=\ln2，c=log⁡1213c=\log_{\frac12}\dfrac13，则 aa，bb，cc 的大小关系为（ ）
A.
a>b>ca>b>c
B.
b>a>cb>a>c
C.
c>b>ac>b>a
D.
c>a>bc>a>b

2018 · 天津 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
将函数 y=sin⁡(2x+π5)y=\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{5}\right) 的图象向右平移 π10\dfrac{\pi}{10} 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A.
在区间 [3π4,5π4]\left[\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\right] 上单调递增
B.
在区间 [3π4,π]\left[\dfrac{3\pi}{4},\pi\right] 上单调递减
C.
在区间 [5π4,3π2]\left[\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}\right] 上单调递增
D.
在区间 [3π2,2π]\left[\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right] 上单调递减

2018 · 天津 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★★☆☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的离心率为 22，过右焦点且垂直于 xx 轴的直线与双曲线交于 AA，BB 两点. 设 AA，BB 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 d1d_1 和 d2d_2，且 d1+d2=6d_1+d_2=6，则双曲线的方程为（ ）
A.
x24−y212=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=1
B.
x212−y24=1\dfrac{x^2}{12}-\dfrac{y^2}{4}=1
C.
x23−y29=1\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{y^2}{9}=1
D.
x29−y23=1\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{3}=1

2018 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★★☆☆
如图，在平面四边形 ABCDABCD 中，AB⊥BCAB\perp BC，AD⊥CDAD\perp CD，∠BAD=120∘\angle BAD=120^\circ，AB=AD=1AB=AD=1. 若点 EE 为边 CDCD 上的动点，则 AE→⋅BE→\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BE} 的最小值为（ ）
A.
2116\dfrac{21}{16}
B.
32\dfrac32
C.
2516\dfrac{25}{16}
D.
33

2018 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09复数★☆☆☆☆
ii 是虚数单位，复数 6+7i1+2i=‾\dfrac{6+7i}{1+2i}=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 天津 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x−12x)5\left(x-\dfrac1{2\sqrt{x}}\right)^5 的展开式中，x2x^2 的系数为______.

2018 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11立体几何初步★★☆☆☆
已知正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的棱长为 11，除面 ABCDABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点 EE，FF，GG，HH，MM（如图），则四棱锥 M−EFGHM-EFGH 的体积为______.

2018 · 天津 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★★☆☆
已知圆 x2+y2−2x=0x^2+y^2-2x=0 的圆心为 CC，直线 x=−1+22tx=-1+\dfrac{\sqrt2}{2}t，y=3−22ty=3-\dfrac{\sqrt2}{2}t（tt 为参数）与该圆相交于 AA，BB 两点，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______.

2018 · 天津 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13不等式★★☆☆☆
已知 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，且 a−3b+6=0a-3b+6=0，则 2a+18b2^a+\dfrac1{8^b} 的最小值为______.

2018 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知 a>0a>0，函数
f(x)={x2+2ax+a,x≤0,−x2+2ax−2a,x>0f(x)=\begin{cases} x^2+2ax+a, & x\le0,\\ -x^2+2ax-2a, & x>0 \end{cases}
若关于 xx 的方程 f(x)=axf(x)=ax 恰有 2 个互异的实数解，则 aa 的取值范围是______.

2018 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 bsin⁡A=acos⁡(B−π6)b\sin A=a\cos\left(B-\dfrac{\pi}{6}\right).
(1) 求角 BB 的大小； (2) 设 a=2a=2，c=3c=3，求 bb 和 sin⁡(2A−B)\sin(2A-B) 的值.

2018 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
已知某单位甲，乙，丙三个部门的员工人数分别为 2424，1616，1616. 现采用分层抽样的方法从中抽取 77 人，进行睡眠时间的调查.
(1) 应从甲，乙，丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2) 若抽出的 77 人中有 44 人睡眠不足，33 人睡眠充足，现从这 77 人中随机抽取 33 人做进一步的身体检查.
(i) 用 XX 表示抽取的 33 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 XX 的分布列与数学期望； (ii) 设 AA 为事件“抽取的 33 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 AA 发生的概率.

2018 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，AD∥BCAD\parallel BC 且 AD=2BCAD=2BC，AD⊥CDAD\perp CD，EG∥ADEG\parallel AD 且 EG=ADEG=AD，CD∥FGCD\parallel FG 且 CD=2FGCD=2FG，DG⊥DG\perp 平面 ABCDABCD，DA=DC=DG=2DA=DC=DG=2.
(1) 若 MM 为 CFCF 的中点，NN 为 EGEG 的中点，求证：MN∥MN\parallel 平面 CDECDE； (2) 求二面角 E−BC−FE-BC-F 的正弦值； (3) 若点 PP 在线段 DGDG 上，且直线 BPBP 与平面 ADGEADGE 所成的角为 60∘60^\circ，求线段 DPDP 的长.

2018 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是等比数列，公比大于 00，其前 nn 项和为 SnS_n （n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），{bn}\{b_n\} 是等差数列. 已知 a1=1a_1=1，a3=a2+2a_3=a_2+2，a4=b3+b5a_4=b_3+b_5，a5=b4+2b6a_5=b_4+2b_6.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 设数列 {Sn}\{S_n\} 的前 nn 项和为 TnT_n （n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），
(i) 求 TnT_n； (ii) 证明 ∑k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=2n+2n+2−2\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{(T_k+b_k+2)b_k}{(k+1)(k+2)}=\frac{2^{n+2}}{n+2}-2 （n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.

2018 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 （a>b>0a>b>0） 的左焦点为 FF，上顶点为 BB. 已知椭圆的离心率为 53\dfrac{\sqrt5}{3}，点 AA 的坐标为 (b,0)(b,0)，且 FB⋅AB=62FB\cdot AB=6\sqrt2.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设直线 l:y=kxl:y=kx （k>0k>0） 与椭圆在第一象限的交点为 PP，且 ll 与直线 ABAB 交于点 QQ.
若 AQPQ=524sin⁡∠AOQ\dfrac{AQ}{PQ}=\dfrac{5\sqrt2}{4}\sin\angle AOQ（OO 为原点），求 kk 的值.

2018 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=axf(x)=a^x，g(x)=log⁡axg(x)=\log_a x，其中 a>1a>1.
(1) 求函数 h(x)=f(x)−xln⁡ah(x)=f(x)-x\ln a 的单调区间； (2) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (x1,f(x1))(x_1,f(x_1)) 处的切线与曲线 y=g(x)y=g(x) 在点 (x2,g(x2))(x_2,g(x_2)) 处的切线平行，证明 x1+g(x2)=−2ln⁡ln⁡aln⁡ax_1+g(x_2)=-\frac{2\ln\ln a}{\ln a}； (3) 证明当 a\ge \mathrm{e}^{\frac1\mathrm{e}} 时，存在直线 ll，使 ll 是曲线 y=f(x)y=f(x) 的切线，也是曲线 y=g(x)y=g(x) 的切线.

2018 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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