如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联. 连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量. 现从结点 $A$ 向结点 $B$ 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递. 则单位时间内传递的最大信息量为（ ）

设抛物线 $y^{2} = 2px$（$p > 0$）的焦点为 $F$，经过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A$，$B$ 两点，点 $C$ 在抛物线的准线上，且 $BC \parallel x$ 轴. 证明直线 $AC$ 经过原点 $O$.

设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，其图象关于直线 $x = 1$ 对称，对任意 $x_{1}$，$x_{2} \in \left[0, \frac{1}{2}\right]$，都有 $f(x_{1} + x_{2}) = f(x_{1}) \cdot f(x_{2})$，且 $f(1) = a > 0$.

(1) 求 $f\left(\frac{1}{2}\right)$，$f\left(\frac{1}{4}\right)$； (2) 证明： $f(x)$ 是周期函数； (3) 记 $a_{n} = f\left(2n + \frac{1}{2n}\right)$，求 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}(\ln a_{n})$.