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01三角函数★☆☆☆☆
若 sin⁡θcos⁡θ>0\sin \theta \cos \theta > 0，则 θ\theta 在（ ）
A.
第一、二象限
B.
第一、三象限
C.
第一、四象限
D.
第二、四象限

2001 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★★☆☆☆
过点 A(1,−1)A(1, -1)，B(−1,1)B(-1, 1) 且圆心在直线 x+y−2=0x + y - 2 = 0 上的圆的方程是（ ）
A.
(x−3)2+(y+1)2=4(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 4
B.
(x+3)2+(y−1)2=4(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 4
C.
(x−1)2+(y−1)2=4(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 4
D.
(x+1)2+(y+1)2=4(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 4

2001 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 是递增等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是（ ）
A.
1
B.
2
C.
4
D.
6

2001 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
若定义在区间 (−1,0)(-1,0) 内的函数 f(x)=log⁡2a(x+1)f(x) = \log_{2a}(x + 1) 满足 f(x)>0f(x) > 0，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(0,12)\left(0, \frac{1}{2}\right)
B.
(0,12]\left(0, \frac{1}{2}\right]
C.
(12,+∞)\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)
D.
(0,+∞)(0, +\infty)

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05解析几何★★☆☆☆
极坐标方程 ρ=2sin⁡(θ+π4)\rho = 2\sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) 的图形是（ ）
A.
B.
C.
D.

2001 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
函数 y=cos⁡x+1y = \cos x + 1（−π⩽x⩽0-\pi \leqslant x \leqslant 0）的反函数是（ ）
A.
y=−arccos⁡(x−1)y = -\arccos (x - 1)（0⩽x⩽20\leqslant x\leqslant 2）
B.
y=π−arccos⁡(x−1)y = \pi -\arccos (x - 1)（0⩽x⩽20\leqslant x\leqslant 2）
C.
y=arccos⁡(x−1)y = \arccos (x - 1)（0⩽x⩽20\leqslant x\leqslant 2）
D.
y=π+arccos⁡(x−1)y = \pi +\arccos (x - 1)（0⩽x⩽20\leqslant x\leqslant 2）

2001 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
若椭圆经过原点，且焦点为 F1(1,0)F_{1}(1,0)，F2(3,0)F_{2}(3,0)，则其离心率为（ ）
A.
34\frac{3}{4}
B.
23\frac{2}{3}
C.
12\frac{1}{2}
D.
14\frac{1}{4}

2001 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
若 0<α<β<π40 < \alpha < \beta < \frac{\pi}{4}，sin⁡α+cos⁡α=a\sin \alpha + \cos \alpha = a，sin⁡β+cos⁡β=b\sin \beta + \cos \beta = b，则（ ）
A.
a>ba > b
B.
a<ba < b
C.
ab<1ab < 1
D.
ab>2ab > 2

2001 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，若 AB=2BB1AB = \sqrt{2} BB_{1}，则 AB1AB_{1} 与 C1BC_{1}B 所成的角的大小为（ ）
A.
60∘60^{\circ}
B.
90∘90^{\circ}
C.
45∘45^{\circ}
D.
120∘120^{\circ}

2001 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★☆☆☆
设 f(x)f(x)，g(x)g(x) 都是单调函数，有如下四个命题中，正确的命题是
① 若 f(x)f(x) 单调递增，g(x)g(x) 单调递增，则 f(x)−g(x)f(x) - g(x) 单调递增； ② 若 f(x)f(x) 单调递增，g(x)g(x) 单调递减，则 f(x)−g(x)f(x)-g(x) 单调递增； ③ 若 f(x)f(x) 单调递减，g(x)g(x) 单调递增，则 f(x)−g(x)f(x)-g(x) 单调递减； ④ 若 f(x)f(x) 单调递减，g(x)g(x) 单调递减，则 f(x)−g(x)f(x)-g(x) 单调递减.
（ ）
A.
①③
B.
①④
C.
②③
D.
②④

2001 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★☆☆
一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法，分别是：
① 单向倾斜； ② 双向倾斜； ③ 四向倾斜.
记三种盖法屋顶面积分别为 P1P_{1}，P2P_{2}，P3P_{3}. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是 α\alpha，则（ ）
A.
P3>P2>P1P_{3} > P_{2} > P_{1}
B.
P3>P2=P1P_{3} > P_{2} = P_{1}
C.
P3=P2>P1P_{3} = P_{2} > P_{1}
D.
P3=P2=P1P_{3} = P_{2} = P_{1}

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12计数原理与组合数学★★★★☆
如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联. 连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量. 现从结点 AA 向结点 BB 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递. 则单位时间内传递的最大信息量为（ ）
A.
26
B.
24
C.
20
D.
19

2001 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13立体几何初步★★☆☆☆
若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3\sqrt{3}，则这个圆锥的侧面积是______.

2001 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
双曲线 x29−y216=1\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 的两个焦点为 F1F_{1}，F2F_{2}，点 PP 在双曲线上，若 PF1⊥PF2PF_{1} \perp PF_{2}，则点 PP 到 xx 轴的距离为______.

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15数列★★☆☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 是公比为 qq 的等比数列，SnS_{n} 是它的前 nn 项和. 若 {Sn}\{S_{n}\} 是等差数列，则 q=q =______.

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
圆周上有 2n2n 个等分点（n>1n > 1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为______.

2001 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在底面是直角梯形的四棱锥 S−ABCDS - ABCD 中，∠ABC=90∘\angle ABC = 90^{\circ}，SA⊥SA \perp 面 ABCDABCD，SA=AB=BC=1SA = AB = BC = 1，AD=12AD = \frac{1}{2}.
(1) 求四棱锥 S−ABCDS - ABCD 的体积； (2) 求面 SCDSCD 与面 SBASBA 所成的二面角的正切值.

2001 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18复数★★★☆☆
已知复数 z1=i(1−i)3z_{1} = \mathrm{i}(1 - \mathrm{i})^{3}.
(1) 求 arg⁡z1\arg z_{1} 及 ∣z1∣|z_{1}|； (2) 当复数 zz 满足 ∣z∣=1|z| = 1，求 ∣z−z1∣|z - z_1| 的最大值.

2001 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px（p>0p > 0）的焦点为 FF，经过点 FF 的直线交抛物线于 AA，BB 两点，点 CC 在抛物线的准线上，且 BC∥xBC \parallel x 轴. 证明直线 ACAC 经过原点 OO.

2001 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20计数原理与组合数学★★★★★
已知 ii，mm，nn 是正整数，且 1<i⩽m<n1 < i \leqslant m < n.
(1) 证明： niAmi<miAnin^i \mathrm A_{m}^{i} < m^i \mathrm A_{n}^{i}； (2) 证明： (1+m)n>(1+n)m(1+m)^{n}>(1+n)^{m}.

2001 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★☆☆
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业. 根据规划，本年度投入 800 万元800\text{ 万元}，以后每年投入将比上年减少 15\frac{1}{5}. 本年度当地旅游业收入估计为 400 万元400\text{ 万元}，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 14\frac{1}{4}.
(1) 设 nn 年内（本年度为第一年）总投入为 an 万元a_{n}\text{ 万元}，旅游业总收入为 bn 万元b_{n}\text{ 万元}. 写出 ana_{n}，bnb_{n} 的表达式； (2) 至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

2001 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★☆
设 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的偶函数，其图象关于直线 x=1x = 1 对称，对任意 x1x_{1}，x2∈[0,12]x_{2} \in \left[0, \frac{1}{2}\right]，都有 f(x1+x2)=f(x1)⋅f(x2)f(x_{1} + x_{2}) = f(x_{1}) \cdot f(x_{2})，且 f(1)=a>0f(1) = a > 0.
(1) 求 f(12)f\left(\frac{1}{2}\right)，f(14)f\left(\frac{1}{4}\right)； (2) 证明： f(x)f(x) 是周期函数； (3) 记 an=f(2n+12n)a_{n} = f\left(2n + \frac{1}{2n}\right)，求 lim⁡n→∞(ln⁡an)\displaystyle\lim_{n \to \infty}(\ln a_{n}).

2001 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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