在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$A$ 为直线 $l:y=2x$ 上在第一象限内的点，$B(5,0)$，以 $AB$ 为直径的圆 $C$ 与直线 $l$ 交于另一点 $D$. 若 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0$，则点 $A$ 的横坐标为______.

某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 $O$ 的一段圆弧 $MPN$（$P$ 为此圆弧的中点）和线段 $MN$ 构成. 已知圆 $O$ 的半径为 40 米，点 $P$ 到 $MN$ 的距离为 50 米. 现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚 $\mathrm{I}$ 内的地块形状为矩形 $ABCD$，大棚 $\mathrm{II}$ 内的地块形状为 $\triangle CDP$，要求 $A$，$B$ 均在线段 $MN$ 上，$C$，$D$ 均在圆弧上. 设 $OC$ 与 $MN$ 所成的角为 $\theta$.

(1) 用 $\theta$ 分别表示矩形 $ABCD$ 和 $\triangle CDP$ 的面积，并确定 $\sin\theta$ 的取值范围； (2) 若大棚 $\mathrm{I}$ 内种植甲种蔬菜，大棚 $\mathrm{II}$ 内种植乙种蔬菜，且甲，乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 $4:3$，求当 $\theta$ 为何值时，能使甲，乙两种蔬菜的年总产值最大.

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C$ 过点 $\left(\sqrt3,\dfrac12\right)$，焦点 $F_1(-\sqrt3,0)$，$F_2(\sqrt3,0)$，圆 $O$ 的直径为 $F_1F_2$.

(1) 求椭圆 $C$ 及圆 $O$ 的方程； (2) 设直线 $l$ 与圆 $O$ 相切于第一象限内的点 $P$.

(i) 若直线 $l$ 与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点，求点 $P$ 的坐标； (ii) 直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点. 若 $\triangle OAB$ 的面积为 $\dfrac{2\sqrt6}{7}$，求直线 $l$ 的方程.