如图，$A$，$B$ 是海面上位于东西方向相距 $5(3 + \sqrt{3})$ 海里的两个观测点. 现位于 $A$ 点北偏东 $45^\circ$，$B$ 点北偏西 $60^\circ$ 的 $D$ 点有一艘轮船发出求救信号，位于 $B$ 点南偏西 $60^\circ$ 且与 $B$ 点相距 $20\sqrt{3}$ 海里的 $C$ 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 $30$ 海里/小时，该救援船到达 $D$ 点需要多长时间？

如图，椭圆 $C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的顶点为 $A_1$，$A_2$，$B_1$，$B_2$，焦点为 $F_1$，$F_2$，$|A_1B_1| = \sqrt{7}$，$S_{\square A_1B_1A_2B_2} = 2S_{\square B_1F_1B_2F_2}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 设 $n$ 是过原点的直线，$l$ 是与 $n$ 垂直相交于 $P$ 点，与椭圆相交于 $A$，$B$ 两点的直线，$\overline{OP} = 1$. 是否存在上述直线 $l$ 使 $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{PB} = 1$ 成立？若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由.

已知函数 $f(x) = \sqrt{x}$，$g(x) = a\ln x$，$a \in \mathbf{R}$.

(1) 若曲线 $y = f(x)$ 与曲线 $y = g(x)$ 相交，且在交点处有共同的切线，求 $a$ 的值和该切线方程； (2) 设函数 $h(x) = f(x) - g(x)$，当 $h(x)$ 存在最小值时，求其最小值 $\varphi(a)$ 的解析式； (3) 对第 $2$ 问中的 $\varphi(a)$ 和任意的 $a > 0$，$b > 0$，证明：$\varphi'\left(\frac{a + b}{2}\right) \leqslant \frac{\varphi'(a) + \varphi'(b)}{2} \leqslant \varphi'\left(\frac{2ab}{a + b}\right)$.