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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
集合 A={x∣−1⩽x⩽2}A = \{x \mid -1 \leqslant x \leqslant 2\}，B={x∣x<1}B = \{x \mid x < 1\}，则 A∩(∁RB)=A \cap (\complement_{\mathbf{R}} B) =（ ）
A.
{x∣x>1}\{x \mid x > 1\}
B.
{x∣x⩾1}\{x \mid x \geqslant 1\}
C.
{x∣1<x⩽2}\{x\mid 1 < x\leqslant 2\}
D.
{x∣1⩽x⩽2}\{x\mid 1\leqslant x\leqslant 2\}

2010 · 陕西 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
复数 z=11+iz = \frac{1}{1 + \mathrm{i}} 在复平面上对应的点位于（ ）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

2010 · 陕西 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
对于函数 f(x)=2sin⁡xcos⁡xf(x) = 2\sin x\cos x，下列选项中正确的是（ ）
A.
对于 f(x)f(x) 在 (π4,π2)\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) 上是递增的
B.
f(x)f(x) 的图象关于原点对称
C.
f(x)f(x) 的最小正周期为 2π2\pi
D.
f(x)f(x) 的最大值为 22

2010 · 陕西 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x+ax)5\left(x + \frac{a}{x}\right)^5（x∈Rx\in \mathbf{R}）展开式中 x3x^{3} 的系数为 1010，则实数 aa 等于（ ）
A.
−1-1
B.
12\frac{1}{2}
C.
11
D.
22

2010 · 陕西 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★☆☆☆☆
已知函数
f(x)={2x+1,x<1,x2+ax,x⩾1.f(x) = \begin{cases} 2^x + 1, & x < 1,\\ x^2 + ax, & x \geqslant 1. \end{cases}
若 f(f(0))=4af(f(0)) = 4a，则实数 aa 等于（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
45\frac{4}{5}
C.
22
D.
99

2010 · 陕西 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06概率与统计★☆☆☆☆
如图所示是求样本 x1x_{1}，x2x_{2}，⋯\cdots，x10x_{10} 平均数 x‾\overline{x} 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（ ）
A.
S=S+xnS = S + x_{n}
B.
S=S+xnnS = S + \frac{x_n}{n}
C.
S=S+nS = S + n
D.
S=S+1nS = S + \frac{1}{n}

2010 · 陕西 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
23\frac{2}{3}
C.
11
D.
22

2010 · 陕西 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
已知抛物线 y2=2pxy^2 = 2px（p>0p > 0）的准线与圆 x2+y2−6x−7=0x^2 + y^2 - 6x - 7 = 0 相切，则 pp 的值为（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
11
C.
22
D.
44

2010 · 陕西 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09数列★★☆☆☆
对于数列 {an}\{a_n\}，“an+1>∣an∣a_{n+1} > |a_n|（n=1n = 1，22，⋯\cdots）”是“{an}\{a_n\} 为递增数列”的（ ）
A.
必要不充分条件
B.
充分不必要条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2010 · 陕西 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★☆☆☆
某学校要召开学生代表大会，规定各班每 1010 人推选一名代表，当各班人数除以 1010 的余数大于 66 时再增选一名代表. 那么，各班可推选代表人数 yy 与该班人数 xx 之间的函数关系用取整函数 y=[x]y = [x]（[x][x] 表示不大于 xx 的最大整数）可以表示为（ ）
A.
y=[x10]y = \left[\frac{x}{10}\right]
B.
y=[x+310]y = \left[\frac{x + 3}{10}\right]
C.
y=[x+410]y = \left[\frac{x + 4}{10}\right]
D.
y=[x+510]y = \left[\frac{x + 5}{10}\right]

2010 · 陕西 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(2,−1)\boldsymbol{a} = (2, -1)，b=(−1,m)\boldsymbol{b} = (-1, m)，c=(−1,2)\boldsymbol{c} = (-1, 2). 若 (a+b)∥c(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \parallel \boldsymbol{c}，则 m=m =______.

2010 · 陕西 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12数列★★☆☆☆
观察下列等式：13+23=321^3 + 2^3 = 3^2，13+23+33=621^3 + 2^3 + 3^3 = 6^2，13+23+33+43=1021^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 10^2，⋯\cdots，根据上述规律，第五个等式为______.

2010 · 陕西 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13概率与统计★★☆☆☆
从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x,y)M(x, y)，则点 MM 取自阴影部分的概率为______.

2010 · 陕西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
铁矿石 AA 和 BB 的含铁率 aa，冶炼每万吨铁矿石的 CO2\mathrm{CO}_2 排放量 bb 及每万吨铁矿石的价格 cc 如下表：
某冶炼厂至少要生产 1.91.9 万吨铁，若要求 CO2\mathrm{CO}_2 的排放量不超过 22 万吨，则购买铁矿石的最少费用为______ 百万元.

2010 · 陕西 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
已知圆 CC 的参数方程为 x=cos⁡αx = \cos \alpha，y=1+sin⁡αy = 1 + \sin \alpha（α\alpha 为参数），以原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 直线 ll 的极坐标方程为 ρsin⁡θ=1\rho\sin\theta = 1，则直线 ll 与圆 CC 的交点的直角坐标为______.

2010 · 陕西 · 理 · 第 15 题（C） · 填空题

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15不等式★★☆☆☆
不等式 ∣x+3∣−∣x−2∣⩾3|x + 3| - |x - 2| \geqslant 3 的解集为______.

2010 · 陕西 · 理 · 第 15 题（A） · 填空题

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15三角函数★★☆☆☆
如图，已知 Rt△ABC\mathrm{Rt}\triangle ABC 的两条直角边 ACAC，BCBC 的长分别为 3 cm3\,\mathrm{cm}，4 cm4\,\mathrm{cm}，以 ACAC 为直径的圆与 ABAB 交于点 DD，则 BDDA=\frac{BD}{DA} =______.

2010 · 陕西 · 理 · 第 15 题（B） · 填空题

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16数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是公差不为零的等差数列，a1=1a_1 = 1 且 a1a_1，a3a_3，a9a_9 成等比数列.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项； (2) 求数列 {2an}\{2^{a_n}\} 的前 nn 项和 SnS_n.

2010 · 陕西 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17三角函数★★★★☆
如图，AA，BB 是海面上位于东西方向相距 5(3+3)5(3 + \sqrt{3}) 海里的两个观测点. 现位于 AA 点北偏东 45∘45^\circ，BB 点北偏西 60∘60^\circ 的 DD 点有一艘轮船发出求救信号，位于 BB 点南偏西 60∘60^\circ 且与 BB 点相距 20320\sqrt{3} 海里的 CC 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 3030 海里/小时，该救援船到达 DD 点需要多长时间？

2010 · 陕西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面 ABCDABCD 是矩形，PA⊥PA \perp 平面 ABCDABCD，AP=AB=2AP = AB = 2，BC=22BC = 2\sqrt{2}，EE，FF 分别是 ADAD，PCPC 的中点.
(1) 证明：PC⊥PC \perp 平面 BEFBEF； (2) 求平面 BEFBEF 与平面 BAPBAP 夹角的大小.

2010 · 陕西 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
为了解学生身高情况，某校以 10%10\% 的比例对全校 700700 名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
(1) 估计该校男生的人数； (2) 估计该校学生身高在 170∼185 cm170 \sim 185\,\mathrm{cm} 之间的概率； (3) 从样本中身高在 165∼180 cm165 \sim 180\,\mathrm{cm} 之间的女生中任选 22 人，求至少有 11 人身高在 170∼180 cm170 \sim 180\,\mathrm{cm} 之间的概率.

2010 · 陕西 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
如图，椭圆 C:x2a2+y2b2=1C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 的顶点为 A1A_1，A2A_2，B1B_1，B2B_2，焦点为 F1F_1，F2F_2，∣A1B1∣=7|A_1B_1| = \sqrt{7}，S□A1B1A2B2=2S□B1F1B2F2S_{\square A_1B_1A_2B_2} = 2S_{\square B_1F_1B_2F_2}.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设 nn 是过原点的直线，ll 是与 nn 垂直相交于 PP 点，与椭圆相交于 AA，BB 两点的直线，OP‾=1\overline{OP} = 1. 是否存在上述直线 ll 使 AP→⋅PB→=1\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{PB} = 1 成立？若存在，求出直线 ll 的方程；若不存在，请说明理由.

2010 · 陕西 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=xf(x) = \sqrt{x}，g(x)=aln⁡xg(x) = a\ln x，a∈Ra \in \mathbf{R}.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 与曲线 y=g(x)y = g(x) 相交，且在交点处有共同的切线，求 aa 的值和该切线方程； (2) 设函数 h(x)=f(x)−g(x)h(x) = f(x) - g(x)，当 h(x)h(x) 存在最小值时，求其最小值 φ(a)\varphi(a) 的解析式； (3) 对第 22 问中的 φ(a)\varphi(a) 和任意的 a>0a > 0，b>0b > 0，证明：φ′(a+b2)⩽φ′(a)+φ′(b)2⩽φ′(2aba+b)\varphi'\left(\frac{a + b}{2}\right) \leqslant \frac{\varphi'(a) + \varphi'(b)}{2} \leqslant \varphi'\left(\frac{2ab}{a + b}\right).

2010 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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