设 $x$，$y$ 满足约束条件 . 若目标函数 $z = ax + by$（$a > 0$，$b > 0$）的最大值为 $12$，则 $\frac{2}{a} + \frac{3}{b}$ 的最小值为（ ）

已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数 $f(x)$，满足 $f(x - 4) = -f(x)$，且在区间 $[0, 2]$ 上是增函数，若方程 $f(x) = m$（$m > 0$）在区间 $[-8, 8]$ 上有四个不同的根 $x_1$，$x_2$，$x_3$，$x_4$，则 $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 =$______.

在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投$3\text{ 次}$；在 $A$ 处每投进一球得$3\text{ 分}$，在 $B$ 处每投进一球得$2\text{ 分}$；如果前两次得分之和超过$3\text{ 分}$即停止投篮，否则投第$3\text{ 次}$. 某同学在 $A$ 处的命中率 $q_1$ 为 $0.25$，在 $B$ 处的命中率为 $q_2$，该同学选择先在 $A$ 处投一球，以后都在 $B$ 处投，用 $\xi$ 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

(1) 求 $q_2$ 的值； (2) 求随机变量 $\xi$ 的数学期望 $E(\xi)$； (3) 试比较该同学选择都在 $B$ 处投篮得分超过$3\text{ 分}$与选择上述方式投篮得分超过$3\text{ 分}$的概率的大小.

等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$. 已知对任意的 $n \in \mathbf{N}^*$，点 $(n, S_{n})$ 均在函数 $y = b^{x} + r$（$b > 0$ 且 $b \neq 1$，$b$，$r$ 均为常数）的图象上.

(1) 求 $r$ 的值； (2) 当 $b = 2$ 时，记 $b_{n} = 2(\log_{2} a_{n} + 1)$（$n \in \mathbf{N}^*$）. 证明：对任意的 $n \in \mathbf{N}^*$，不等式 $\frac{b_{1} + 1}{b_{1}} \cdot \frac{b_{2} + 1}{b_{2}} \cdots \frac{b_{n} + 1}{b_{n}} > \sqrt{n + 1}$ 成立.

两县城 $A$ 和 $B$ 相距 $20 \mathrm{~km}$，现计划在两县城外以 $AB$ 为直径的半圆弧 $\widehat{AB}$ 上选择一点 $C$ 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城 $A$ 和城 $B$ 的总影响度为城 $A$ 与城 $B$ 的影响度之和. 记 $C$ 点到城 $A$ 的距离为 $x \mathrm{~km}$，建在 $C$ 处的垃圾处理厂对城 $A$ 和城 $B$ 的总影响度为 $y$. 统计调查表明：垃圾处理厂对城 $A$ 的影响度与所选地点到城 $A$ 的距离的平方成反比. 比例系数为 $4$. 对城 $B$ 的影响度与所选地点到城 $B$ 的距离的平方成反比，比例系数为 $k$. 当垃圾处理厂建在 $\widehat{AB}$ 的中点时，对城 $A$ 和城 $B$ 的总影响度为 $0.065$.

(1) 将 $y$ 表示成 $x$ 的函数； (2) 讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 $\widehat{AB}$ 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 $A$ 和城 $B$ 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 $A$ 的距离；若不存在，说明理由.