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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
集合 A={0,2,a}A = \{0, 2, a\}，B={1,a2}B = \{1, a^2\}. 若 A∪B={0,1,2,4,16}A \cup B = \{0, 1, 2, 4, 16\}，则 aa 的值为（ ）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
44

2009 · 山东 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
复数 3−i1−i\dfrac{3 - \mathrm{i}}{1 - \mathrm{i}} 等于（ ）
A.
1+2i1 + 2\mathrm{i}
B.
1−2i1 - 2\mathrm{i}
C.
2+i2 + \mathrm{i}
D.
2−i2 - \mathrm{i}

2009 · 山东 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
将函数 y=sin⁡2xy = \sin 2x 的图象向左平移 π4\frac{\pi}{4} 个单位，再向上平移 11 个单位，所得图象的函数解析式是（ ）
A.
y=cos⁡2xy = \cos 2x
B.
y=2cos⁡2xy = 2\cos^2 x
C.
y=1+sin⁡(2x+π4)y = 1 + \sin \left(2x + \frac{\pi}{4}\right)
D.
y=2sin⁡2xy = 2\sin^2 x

2009 · 山东 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★★☆☆
一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
（ ）
A.
2π+232\pi + 2\sqrt{3}
B.
4π+234\pi + 2\sqrt{3}
C.
2π+2332\pi + \frac{2\sqrt{3}}{3}
D.
4π+2334\pi + \frac{2\sqrt{3}}{3}

2009 · 山东 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★☆☆☆
已知 α\alpha，β\beta 表示两个不同的平面，mm 为平面 α\alpha 内的一条直线，则 α⊥β\alpha \perp \beta 是 “m⊥βm \perp \beta” 的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2009 · 山东 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=ex+e−xex−e−xy = \dfrac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}} 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2009 · 山东 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
设 PP 是 △ABC\triangle ABC 所在平面内的一点，BC→+BA→=2BP→\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = 2\overrightarrow{BP}，则（ ）
A.
PA→+PB→=0\overrightarrow{PA} +\overrightarrow{PB} = 0
B.
PC→+PA→=0\overrightarrow{PC} +\overrightarrow{PA} = 0
C.
PB→+PC→=0\overrightarrow{PB} +\overrightarrow{PC} = 0
D.
PA→+PB→+PC→=0\overrightarrow{PA} +\overrightarrow{PB} +\overrightarrow{PC} = 0

2009 · 山东 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08概率与统计★★☆☆☆
某工厂对一批产品进行了抽样检测. 如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106][96,106]，样本数据分组为[96,98)[96,98)，[98,100)[98,100)，[100,102)[100,102)，[102,104)[102,104)，[104,106][104,106]，已知样本中产品净重小于100 克100\text{ 克}的个数是3636，则样本中净重大于或等于98 克98\text{ 克}并且小于104 克104\text{ 克}的产品的个数是（ ）
A.
9090
B.
7575
C.
6060
D.
4545

2009 · 山东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★★☆☆
设双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 的一条渐近线与抛物线 y=x2+1y = x^2 + 1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）
A.
54\frac{5}{4}
B.
55
C.
52\frac{\sqrt{5}}{2}
D.
5\sqrt{5}

2009 · 山东 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★☆☆
定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)f(x) 满足
f(x)={log⁡2(1−x),x⩽0,f(x−1)−f(x−2),x>0,f(x) = \begin{cases} \log_2(1 - x), & x \leqslant 0,\\ f(x - 1) - f(x - 2), & x > 0, \end{cases}
，则 f(2009)f(2009) 的值为（ ）
A.
−1-1
B.
00
C.
11
D.
22

2009 · 山东 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11概率与统计★★☆☆☆
在区间 [−1,1][-1, 1] 上随机取一个数 xx，cos⁡πx2\cos \frac{\pi x}{2} 的值介于 00 到 12\frac{1}{2} 之间的概率（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
2π\frac{2}{\pi}
C.
12\frac{1}{2}
D.
23\frac{2}{3}

2009 · 山东 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12不等式★★★★☆
设 xx，yy 满足约束条件
{3x−y−6⩽0,x−y+2⩾0,x⩾0,y⩾0,\begin{cases} 3x - y - 6 \leqslant 0,\\ x - y + 2 \geqslant 0,\\ x \geqslant 0, y \geqslant 0, \end{cases}
. 若目标函数 z=ax+byz = ax + by（a>0a > 0，b>0b > 0）的最大值为 1212，则 2a+3b\frac{2}{a} + \frac{3}{b} 的最小值为（ ）
A.
256\frac{25}{6}
B.
83\frac{8}{3}
C.
113\frac{11}{3}
D.
44

2009 · 山东 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13不等式★★☆☆☆
∣2x−1∣−∣x−2∣<0\lvert 2x - 1\rvert - \lvert x - 2\rvert < 0 的解集为______.

2009 · 山东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=ax−x−af(x) = a^x - x - a（a>0a > 0 且 a≠1a \neq 1）有两个零点，则实数 aa 的取值范围是______.

2009 · 山东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★☆☆☆
执行如图的程序框图，输出的 T=T=______.

2009 · 山东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★★☆
已知定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数 f(x)f(x)，满足 f(x−4)=−f(x)f(x - 4) = -f(x)，且在区间 [0,2][0, 2] 上是增函数，若方程 f(x)=mf(x) = m（m>0m > 0）在区间 [−8,8][-8, 8] 上有四个不同的根 x1x_1，x2x_2，x3x_3，x4x_4，则 x1+x2+x3+x4=x_1 + x_2 + x_3 + x_4 =______.

2009 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=cos⁡(2x+π3)+sin⁡2xf(x) = \cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + \sin^2 x.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最大值和最小正周期； (2) 设 AA，BB，CC 为 △ABC\triangle ABC 的三个内角，若 cos⁡B=13\cos B = \frac{1}{3}，f(C2)=−14f\left(\frac{C}{2}\right) = -\frac{1}{4}，且 CC 为锐角，求 sin⁡A\sin A.

2009 · 山东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，底面 ABCDABCD 为等腰梯形，AB∥CDAB\parallel CD，AB=4AB = 4，BC=CD=2BC = CD = 2，AA1=2AA_{1} = 2，EE，E1E_{1}，FF 分别是棱 ADAD，AA1AA_{1}，ABAB 的中点.
(1) 证明：直线 EE1∥EE_{1}\parallel 平面 FCC1FCC_{1}； (2) 求二面角 B−FC1−CB - FC_{1} - C 的余弦值.

2009 · 山东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★★☆
在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3 次3\text{ 次}；在 AA 处每投进一球得3 分3\text{ 分}，在 BB 处每投进一球得2 分2\text{ 分}；如果前两次得分之和超过3 分3\text{ 分}即停止投篮，否则投第3 次3\text{ 次}. 某同学在 AA 处的命中率 q1q_1 为 0.250.25，在 BB 处的命中率为 q2q_2，该同学选择先在 AA 处投一球，以后都在 BB 处投，用 ξ\xi 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
ξ\xi0022334455
(1) 求 q2q_2 的值； (2) 求随机变量 ξ\xi 的数学期望 E(ξ)E(\xi)； (3) 试比较该同学选择都在 BB 处投篮得分超过3 分3\text{ 分}与选择上述方式投篮得分超过3 分3\text{ 分}的概率的大小.

2009 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}. 已知对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，点 (n,Sn)(n, S_{n}) 均在函数 y=bx+ry = b^{x} + r（b>0b > 0 且 b≠1b \neq 1，bb，rr 均为常数）的图象上.
(1) 求 rr 的值； (2) 当 b=2b = 2 时，记 bn=2(log⁡2an+1)b_{n} = 2(\log_{2} a_{n} + 1)（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）. 证明：对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，不等式 b1+1b1⋅b2+1b2⋯bn+1bn>n+1\frac{b_{1} + 1}{b_{1}} \cdot \frac{b_{2} + 1}{b_{2}} \cdots \frac{b_{n} + 1}{b_{n}} > \sqrt{n + 1} 成立.

2009 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
两县城 AA 和 BB 相距 20 km20 \mathrm{~km}，现计划在两县城外以 ABAB 为直径的半圆弧 AB^\widehat{AB} 上选择一点 CC 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城 AA 和城 BB 的总影响度为城 AA 与城 BB 的影响度之和. 记 CC 点到城 AA 的距离为 x kmx \mathrm{~km}，建在 CC 处的垃圾处理厂对城 AA 和城 BB 的总影响度为 yy. 统计调查表明：垃圾处理厂对城 AA 的影响度与所选地点到城 AA 的距离的平方成反比. 比例系数为 44. 对城 BB 的影响度与所选地点到城 BB 的距离的平方成反比，比例系数为 kk. 当垃圾处理厂建在 AB^\widehat{AB} 的中点时，对城 AA 和城 BB 的总影响度为 0.0650.065.
(1) 将 yy 表示成 xx 的函数； (2) 讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 AB^\widehat{AB} 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 AA 和城 BB 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 AA 的距离；若不存在，说明理由.

2009 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
设椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）过 M(2,2)M(2, \sqrt{2})，N(6,1)N(\sqrt{6}, 1) 两点，OO 为坐标原点.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 EE 恒有两个交点 AA，BB，且 OA→⊥OB→\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OB}？若存在，写出该圆的方程，并求 ∣AB∣|AB| 的取值范围；若不存在，说明理由.

2009 · 山东 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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