某大队在农田基本建设的规划中，要测定被障碍物隔开的两点 $A$，$P$ 之间的距离，他们土法上马，在障碍物的两侧，选取两点 $B$ 和 $C$（如图），测得 $AB=AC=50\mathrm{~m}$，$\angle BAC=60^\circ$，$\angle ABP=120^\circ$，$\angle ACP=135^\circ$，求 $A$ 和 $P$ 之间的距离.（答案可用最简根式表示）

已知双曲线 $\frac{x^2}{24\alpha}-\frac{y^2}{16\cot\alpha}=1$（$\alpha$ 为锐角）和圆 $\left(x-m\right)^2+y^2=r^2$ 相切于点 $A\left(4\sqrt{3},4\right)$，求 $\alpha$，$m$，$r$ 的值.