设 $x\in\mathbf{R}$，$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数. 若存在实数 $t$，使得 $[t]=1$，$[t^2]=2$，$\cdots$，$[t^n]=n$ 同时成立，则正整数 $n$ 的最大值是（ ）

函数 $f(x)=4\cos^2\dfrac{x}{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)-2\sin x-|\ln(x+1)|$ 的零点个数为______.

如图，圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于点 $T(1,0)$，与 $y$ 轴正半轴交于两点 $A$，$B$（$B$ 在 $A$ 的上方），且 $|AB|=2$.

(1) 圆 $C$ 的标准方程为______； (2) 过点 $A$ 任作一条直线与圆 $O\colon x^2+y^2=1$ 相交于 $M$，$N$ 两点，下列三个结论：

① $\dfrac{|NA|}{|NB|}=\dfrac{|MA|}{|MB|}$； ② $\dfrac{|NB|}{|NA|}-\dfrac{|MA|}{|MB|}=2$； ③ $\dfrac{|NB|}{|NA|}+\dfrac{|MA|}{|MB|}=2\sqrt2$.

其中正确结论的序号是______.（写出所有正确结论的序号）

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图，在阳马 $P-ABCD$ 中，侧棱 $PD\perp$ 底面 $ABCD$，且 $PD=CD$，过棱 $PC$ 的中点 $E$，作 $EF\perp PB$ 交 $PB$ 于点 $F$，连接 $DE$，$DF$，$BD$，$BE$.

(1) 证明：$PB\perp$ 平面 $DEF$. 试判断四面体 $DBEF$ 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由； (2) 若面 $DEF$ 与面 $ABCD$ 所成二面角的大小为 $\dfrac\pi3$，求 $\dfrac{DC}{BC}$ 的值.

某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A，B 两种奶制品. 生产 $1$ 吨 A 产品需鲜牛奶 $2$ 吨，使用设备 $1$ 小时，获利 $1000$ 元；生产 $1$ 吨 B 产品需鲜牛奶 $1.5$ 吨，使用设备 $1.5$ 小时，获利 $1200$ 元. 要求每天 B 产品的产量不超过 A 产品产量的 $2$ 倍，设备每天生产 A，B 两种产品时间之和不超过 $12$ 小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量 $W$（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 $Z$（单位：元）是一个随机变量.

(1) 求 $Z$ 的分布列和均值； (2) 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 $3$ 天中至少有 $1$ 天的最大获利超过 $10000$ 元的概率.