(1) 若 $a_i>0$（$i=1$，$2$，$\dots$，$n$），证明：$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}\geqslant n^{2}$； (2) 若 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(x)>0$，证明：$\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{f(x)}\geqslant1$.