正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的棱长为 2 ，动点 $E$，$F$ 在棱 $A_{1}B_{1}$ 上，动点 $P$，$Q$ 分别在棱 $AD$，$CD$ 上，若 $EF = 1$，$A_{1}E = x$，$DQ = y$，$DP = z$（$x$，$y$，$z > 0$），则四面体 $PEFQ$ 的体积（ ）

已知函数 $f(x) = \ln\left(1 + x\right) - x + \frac{k}{2}x^2$ （$k \geqslant 0$）.

(1) 当 $k=2$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程； (2) 求 $f(x)$ 的单调区间.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $B$ 与点 $A(-1,1)$ 关于原点 $O$ 对称，点 $P$ 是动点，且直线 $AP$ 与 $BP$ 的斜率之积等于 $-\frac{1}{3}$.

(1) 求动点 $P$ 的轨迹方程； (2) 设直线 $AP$ 和 $BP$ 分别与直线 $x = 3$ 交于点 $M$，$N$. 问：是否存在点 $P$ 使得 $\triangle PAB$ 与 $\triangle PMN$ 的面积相等？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由.