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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
集合 P={x∈Z∣0⩽x<3}P = \{x \in \mathbf{Z} \mid 0 \leqslant x < 3\}，M={x∈Z∣x2⩽9}M = \{x \in \mathbf{Z} \mid x^2 \leqslant 9\}，则 P∩M=P \cap M =（ ）
A.
{1,2}\{1, 2\}
B.
{0,1,2}\{0, 1, 2\}
C.
{x∣0⩽x<3}\{x\mid 0\leqslant x < 3\}
D.
{x∣0⩽x⩽3}\{x\mid 0\leqslant x\leqslant 3\}

2010 · 北京 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02数列★★☆☆☆
在等比数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=1a_{1} = 1，公比 ∣q∣≠1|q| \neq 1. 若 am=a1a2a3a4a5a_{m} = a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}，则 m=m =（ ）
A.
99
B.
1010
C.
1111
D.
1212

2010 · 北京 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03立体几何初步★★☆☆☆
一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为（ ）
A.
B.
C.
D.

2010 · 北京 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
8 名学生和 2 位老师站成一排合影，2 位老师不相邻的排法种数为（ ）
A.
A88A92\mathrm{A}_8^8\mathrm{A}_9^2
B.
A88C92\mathrm{A}_8^8\mathrm{C}_9^2
C.
A88A72\mathrm{A}_8^8\mathrm{A}_7^2
D.
A88C72\mathrm{A}_8^8\mathrm{C}_7^2

2010 · 北京 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
极坐标方程 (ρ−1)(θ−π)=0(\rho - 1)(\theta - \pi) = 0 （ρ⩾0\rho \geqslant 0） 表示的图形是（ ）
A.
两个圆
B.
两条直线
C.
一个圆和一条射线
D.
一条直线和一条射线

2010 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06平面向量★★★☆☆
a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为非零向量. “a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}”是“函数 f(x)=(xa+b)⋅(xb−a)f(x) = (x\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot (x\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}) 为一次函数”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2010 · 北京 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
设不等式组
{x+y−11⩾0,3x−y+3⩾0,5x−3y+9⩽0\left\{\begin{aligned}x+y-11&\geqslant0,\\ 3x-y+3&\geqslant0,\\ 5x-3y+9&\leqslant0\end{aligned}\right.
表示的平面区域为 DD. 若指数函数 y=axy=a^{x} 的图象上存在区域 DD 内的点，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(1,3](1,3]
B.
[2,3][2,3]
C.
(1,2](1,2]
D.
[3,+∞)[3, +\infty)

2010 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★★☆
正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱长为 2 ，动点 EE，FF 在棱 A1B1A_{1}B_{1} 上，动点 PP，QQ 分别在棱 ADAD，CDCD 上，若 EF=1EF = 1，A1E=xA_{1}E = x，DQ=yDQ = y，DP=zDP = z（xx，yy，z>0z > 0），则四面体 PEFQPEFQ 的体积（ ）
A.
与 xx，yy，zz 都有关
B.
与 xx 有关，与 yy，zz 无关
C.
与 yy 有关，与 xx，zz 无关
D.
与 zz 有关，与 xx，yy 无关

2010 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09复数★☆☆☆☆
在复平面内，复数 2i1−i\frac{2\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}} 对应的点的坐标为______.

2010 · 北京 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，若 b=1b = 1，c=3c = \sqrt{3}，∠C=2π3\angle C = \frac{2\pi}{3}，则 a=a =______.

2010 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11概率与统计★★☆☆☆
从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）. 由图中数据可知 a=a =______. 若要从身高在 [120,130)[120, 130)，[130,140)[130, 140)，[140,150][140, 150] 三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动，则从身高在 [140,150][140, 150] 内的学生中选取的人数应为______.

2010 · 北京 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12立体几何初步★★★☆☆
如图，⊙O\odot O 的弦 EDED，CBCB 的延长线交于点 AA. 若 BD⊥AEBD \perp AE，AB=4AB = 4，BC=2BC = 2，AD=3AD = 3，则 DE=‾DE =\underline{\hspace{2em}}； CE=‾CE =\underline{\hspace{2em}}.

2010 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>0a > 0，b>0b > 0） 的离心率为 2，焦点与椭圆 x225+y29=1\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为______.

2010 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★★
如图放置的边长为 1 的正方形 PABCPABC 沿 xx 轴滚动. 设顶点 P(x,y)P(x, y) 的轨迹方程是 y=f(x)y = f(x)，则 f(x)f(x) 的最小正周期为______；y=f(x)y = f(x) 在其两个相邻零点间的图象与 xx 轴所围区域的面积为______.
说明：“正方形 PABCPABC 沿 xx 轴滚动”包括沿 xx 轴正方向和沿 xx 轴负方向滚动. 沿 xx 轴正方向滚动指的是先以顶点 AA 为中心顺时针旋转，当顶点 BB 落在 xx 轴上时，再以顶点 BB 为中心顺时针旋转，如此继续. 类似地，正方形 PABCPABC 可以沿 xx 轴负方向滚动.

2010 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=2cos⁡2x+sin⁡2x−4cos⁡xf(x) = 2\cos 2x + \sin^2 x - 4\cos x.
(1) 求 f(π3)f\left(\frac{\pi}{3}\right) 的值； (2) 求 f(x)f(x) 的最大值和最小值.

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，正方形 ABCDABCD 和四边形 ACEFACEF 所在的平面互相垂直，CE⊥ACCE \perp AC，EF∥ACEF \parallel AC，AB=2AB = \sqrt{2}，CE=EF=1CE = EF = 1.
(1) 求证：AF∥AF \parallel 平面 BDEBDE； (2) 求证：CF⊥CF \perp 平面 BDEBDE； (3) 求二面角 AA-BEBE-DD 的大小.

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17概率与统计★★★☆☆
某同学参加 3 门课程的考试. 假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 45\frac{4}{5}，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 pp，qq （p>qp > q）. 且不同课程是否取得优秀成绩相互独立. 记 ξ\xi 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ\xi00112233
(1) 求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率； (2) 求 pp，qq 的值； (3) 求数学期望 E(ξ)E(\xi).

2010 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)−x+k2x2f(x) = \ln\left(1 + x\right) - x + \frac{k}{2}x^2 （k⩾0k \geqslant 0）.
(1) 当 k=2k=2 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 求 f(x)f(x) 的单调区间.

2010 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，点 BB 与点 A(−1,1)A(-1,1) 关于原点 OO 对称，点 PP 是动点，且直线 APAP 与 BPBP 的斜率之积等于 −13-\frac{1}{3}.
(1) 求动点 PP 的轨迹方程； (2) 设直线 APAP 和 BPBP 分别与直线 x=3x = 3 交于点 MM，NN. 问：是否存在点 PP 使得 △PAB\triangle PAB 与 △PMN\triangle PMN 的面积相等？若存在，求出点 PP 的坐标；若不存在，说明理由.

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20集合与逻辑基础★★★★★
已知集合 Sn={X∣X=(x1,x2,…,xn),xi∈{0,1},i=1,2,⋯ ,n}S_{n} = \{X \mid X = (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}), x_{i} \in \{0, 1\}, i = 1, 2, \cdots, n\} （n⩾2n \geqslant 2），对于 A=(a1,a2,⋯ ,an)A = (a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n})，B=(b1,b2,⋯ ,bn)∈SnB = (b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}) \in S_{n}，定义 AA 与 BB 的差为 A−B=(∣a1−b1∣,∣a2−b2∣,⋯ ,∣an−bn∣)A - B = (|a_{1} - b_{1}|, |a_{2} - b_{2}|, \cdots, |a_{n} - b_{n}|)； AA 与 BB 之间的距离为 d(A,B)=∑i=1n∣ai−bi∣d(A, B) = \sum_{i=1}^{n} |a_{i} - b_{i}|.
(1) 证明： ∀A\forall A，BB，C∈SnC \in S_n，有 A−B∈SnA - B \in S_n，且 d(A−C,B−C)=d(A,B)d(A - C, B - C) = d(A, B)； (2) 证明： ∀A\forall A，BB，C∈SnC \in S_n，d(A,B)d(A, B)，d(A,C)d(A, C)，d(B,C)d(B, C) 三个数中至少有一个是偶数； (3) 设 P⊆SnP \subseteq S_n，PP 中有 mm（m⩾2m \geqslant 2） 个元素，记 PP 中所有两元素间距离的平均值为 d‾(P)\overline{d}(P). 证明： d‾(P)⩽mn2(m−1)\overline{d}(P) \leqslant \frac{mn}{2(m - 1)}.

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