数迹
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12函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=x−2x−1f(x)=\frac{x-2}{x-1} 与 g(x)=mx+1−mg(x)=mx+1-m 的图像相交于 AA，BB 两点. 若动点 PP 满足 ∣PA→+PB→∣=2\left|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}\right|=2，则 PP 的轨迹方程为______.

2014 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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24解析几何★★★★☆
如图，在底面半径和高均为 11 的圆锥中，ABAB，CDCD 是底面圆 OO 的两条互相垂直的直径，EE 是母线 PBPB 的中点. 已知过 CDCD 与 EE 的平面与圆锥侧面的交线是以 EE 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点 PP 的距离为（ ）
A.
11
B.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
C.
62\frac{\sqrt{6}}{2}
D.
104\frac{\sqrt{10}}{4}

2014 · 上海 · 春季 · 第 24 题 · 选择题

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28解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2=1C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1（a>1a>1）的左焦点为 FF，上顶点为 BB.
(1) 若直线 FBFB 的一个方向向量为 (1,33)\left(1,\frac{\sqrt{3}}{3}\right)，求实数 aa 的值； (2) 若 a=2a=\sqrt{2}，直线 l:y=kx−2l:y=kx-2 与椭圆 CC 相交于 MM，NN 两点，且 FM→⋅FN→=3\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=3，求实数 kk 的值.

2014 · 上海 · 春季 · 第 28 题 · 解答题

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29数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 an>0a_{n}>0，双曲线 Cn:x2an−y2an+1=1C_{n}:\frac{x^{2}}{a_{n}}-\frac{y^{2}}{a_{n+1}}=1（n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}）.
(1) 若 a1=1a_{1}=1，a2=2a_{2}=2，双曲线 CnC_{n} 的焦距为 2cn2c_{n}，cn=4n−1c_{n}=\sqrt{4n-1}，求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 如图，在双曲线 CnC_{n} 的右支上取点 Pn(xPn,n)P_{n}(x_{P_{n}},n)，过 PnP_{n} 作 yy 轴的垂线，在第一象限内交 CnC_{n} 的渐近线于点 QnQ_{n}，联结 OPnOP_{n}，记 △OPnQn\triangle OP_{n}Q_{n} 的面积为 SnS_{n}. 若 lim⁡n→∞an=2\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=2，求 lim⁡n→∞Sn\lim\limits_{n\to\infty}S_{n}.
（关于数列极限的运算，还可参考如下性质：若 lim⁡n→∞un=A\lim\limits_{n\to\infty}u_{n}=A（un≥0u_{n}\ge0），则 lim⁡n→∞un=A\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{u_{n}}=\sqrt{A}）

2014 · 上海 · 春季 · 第 29 题 · 解答题

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30解析几何★★★★☆
已知直角三角形 ABCABC 的两直角边 ACAC，BCBC 的边长分别为 bb，aa，如图，过 ACAC 边的 nn 等分点 AiA_{i} 作 ACAC 边的垂线 did_{i}，过 BCBC 边的 nn 等分点 BiB_{i} 和顶点 AA 作直线 lil_{i}，记 did_{i} 与 lil_{i} 的交点为 PiP_{i}（i=1i=1，22，⋯\cdots，n−1n-1）. 是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数 n≥2n\ge2，点 PiP_{i}（i=1i=1，22，⋯\cdots，n−1n-1）都在这条曲线上？说明理由.

2014 · 上海 · 春季 · 第 30 题 · 解答题

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31三角函数★★★★☆
某人造卫星在地球赤道平面绕地球飞行，甲，乙两个监测点分别位于赤道上东经 131∘131^{\circ} 和 147∘147^{\circ}，在某时刻测得甲监测点到卫星的距离为 1537.45 千米1537.45\text{ 千米}，乙监测点到卫星的距离为 887.64 千米887.64\text{ 千米}. 假设地球赤道是一个半径为 6378 千米6378\text{ 千米} 的圆，求此时卫星所在位置的高度（结果精确到 0.01 千米0.01\text{ 千米}）和经度（结果精确到 0.01∘0.01^{\circ}）.

2014 · 上海 · 春季 · 第 31 题 · 解答题

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32函数与初等函数★★★★☆
如果存在非零常数 cc，对于函数 y=f(x)y=f(x) 定义域 R\mathbf{R} 上的任意 xx，都有 f(x+c)>f(x)f(x+c)>f(x) 成立，那么称函数为“ZZ 函数”.
(1) 求证：若 y=f(x)y=f(x)（x∈Rx\in\mathbf{R}）是单调函数，则它是“ZZ 函数”； (2) 若函数 g(x)=ax3+bx2g(x)=ax^{3}+bx^{2} 是“ZZ 函数”，求实数 aa，bb 满足的条件.

2014 · 上海 · 春季 · 第 32 题 · 解答题

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