在 $\triangle ABC$ 中，$\sin^2 A \leqslant \sin^2 B + \sin^2 C - \sin B \sin C$，则 $A$ 的取值范围是（ ）

某运输公司有 $12$ 名驾驶员和 $19$ 名工人，有 $8$ 辆载重量为 $10\text{ 吨}$ 的甲型卡车和 $7$ 辆载重量为 $6\text{ 吨}$ 的乙型卡车. 某天需运往 $A$ 地至少 $72\text{ 吨}$ 的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配 $2$ 名工人，运送一次可得利润 $450\text{ 元}$；派用的每辆乙型卡车需配 $1$ 名工人，运送一次可得利润 $350\text{ 元}$，该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数，可得最大利润 $z =$（ ）

在抛物线 $y = x^2 + ax - 5$（$a \neq 0$）上取横坐标为 $x_1 = -4$，$x_2 = 2$ 的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 $5x^2 + 5y^2 = 36$ 相切，则抛物线顶点的坐标为（ ）

在集合 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 中任取一个偶数 $a$ 和一个奇数 $b$ 构成以原点为起点的向量 $\alpha = (a, b)$. 从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为 $n$，其中面积等于 $2$ 的平行四边形的个数为 $m$，则 $\frac{m}{n} =$（ ）

已知 $\{a_n\}$ 是以 $a$ 为首项，$q$ 为公比的等比数列，$S_n$ 为它的前 $n$ 项和.

(1) 当 $S_1$，$S_3$，$S_4$ 成等差数列时，求 $q$ 的值； (2) 当 $S_m$，$S_n$，$S_l$ 成等差数列时，求证：对任意自然数 $k$，$a_{m+k}$，$a_{n+k}$，$a_{l+k}$ 也成等差数列.

过点 $C(0, 1)$ 的椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，椭圆与 $x$ 轴交于两点 $A(a, 0)$，$B(-a, 0)$，过点 $C$ 的直线 $l$ 与椭圆交于另一点 $D$，并与 $x$ 轴交于点 $P$，直线 $AC$ 与直线 $BD$ 交于点 $Q$.

(1) 当直线 $l$ 过椭圆右焦点时，求线段 $CD$ 的长； (2) 当点 $P$ 异于点 $B$ 时，求证：$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ}$ 为定值.