三棱锥被平行于底面 $ABC$ 的平面所截得的几何体如图所示，截面为 $A_{1}B_{1}C_{1}$， $\angle BAC = 90^{\circ}$， $A_{1}A \perp$ 平面 $ABC$， $A_{1}A = \sqrt{3}$，$AB = AC = 2A_{1}C_{1} = 2$，$D$ 为 $BC$ 中点.

(1) 证明：平面 $A_{1}AD \perp$ 平面 $BCC_{1}B_{1}$； (2) 求二面角 $A - CC_{1} - B$ 的大小.

已知抛物线 $C: y = 2x^{2}$，直线 $y = kx + 2$ 交 $C$ 于 $A$，$B$ 两点. $M$ 是线段 $AB$ 的中点，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交 $C$ 于点 $N$.

(1) 证明：抛物线 $C$ 在点 $N$ 处的切线与 $AB$ 平行； (2) 是否存在实数 $k$ 使 $\overrightarrow{NA} \cdot \overrightarrow{NB} = 0$. 若存在，求 $k$ 的值；若不存在，说明理由.

设函数 $f(x) = x^{3} + ax^{2} - a^{2}x + 1$，$g(x) = ax^{2} - 2x + 1$，其中实数 $a \neq 0$.

(1) 若 $a > 0$，求函数 $f(x)$ 的单调区间； (2) 当函数 $y = f(x)$ 与 $y = g(x)$ 的图象只有一个公共点且 $g(x)$ 存在最小值时，记 $g(x)$ 的最小值为 $h(a)$，求 $h(a)$ 的值域； (3) 若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在区间 $(a, a + 2)$ 内均为增函数，求 $a$ 的取值范围.