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18立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 S−ABCDS-ABCD 的底面是正方形，SD⊥SD \perp 平面 ABCDABCD，SD=2aSD = 2a，AD=2aAD = \sqrt{2}a，点 EE 是 SDSD 上的点，且 DE=λaDE = \lambda a（0<λ⩽20 < \lambda \leqslant 2）.
(1) 求证：对任意的 λ∈(0,2]\lambda \in (0,2]，都有 AC⊥BEAC \perp BE； (2) 设二面角 C−AE−DC-AE-D 的大小为 θ\theta. 直线 BEBE 与平面 ABCDABCD 所成的角为 φ\varphi. 若 tan⁡θ⋅tan⁡φ=1\tan \theta \cdot \tan \varphi = 1，求 λ\lambda 的值.

2009 · 湖北 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
已知 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 Sn=−an−(12)n−1+2S_{n} = -a_{n} - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 2（nn 为正整数）.
(1) 令 bn=2nanb_{n} = 2^{n}a_{n}，求证数列 {bn}\{b_{n}\} 是等差数列，并求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 令 cn=n+1nanc_{n} = \frac{n + 1}{n} a_{n}，Tn=c1+c2+⋯+cnT_{n} = c_{1} + c_{2} + \cdots + c_{n}，试比较 TnT_{n} 与 5n2n+1\frac{5n}{2n + 1} 的大小，并予以证明.

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20解析几何★★★★☆
过抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px（p>0p > 0）的对称轴上一点 A(a,0)A(a,0)（a>0a > 0）的直线与抛物线相交于 MM，NN 两点，自 MM，NN 向直线 ll：x=−ax = -a 作垂线，垂足分别为 M1M_{1}，N1N_{1}.
(1) 当 a=p2a = \frac{p}{2} 时，求证： AM1⊥AN1AM_{1} \perp AN_{1}； (2) 记 △AMM1\triangle AMM_{1}，△AM1N1\triangle AM_{1}N_{1}，△ANN1\triangle ANN_{1} 的面积分别为 S1S_{1}，S2S_{2}，S3S_{3}，是否存在 λ\lambda，使得对任意的 a>0a > 0，都有 S22=λS1S3S_{2}^{2} = \lambda S_{1}S_{3} 成立. 若存在，求出 λ\lambda 的值；若不存在，说明理由.

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