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01集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知 P={a∣a=(1,0)+m(0,1),m∈R}P = \{\boldsymbol{a} \mid \boldsymbol{a} = (1,0) + m(0,1), m \in \mathbf{R}\}，Q={b∣b=(1,1)+n(−1,1),n∈R}Q = \{\boldsymbol{b} \mid \boldsymbol{b} = (1,1) + n(-1,1), n \in \mathbf{R}\} 是两个向量集合，则 P∩Q=P \cap Q =（ ）
A.
{(1,1)}\{(1,1)\}
B.
{(−1,1)}\{(-1,1)\}
C.
{(1,0)}\{(1,0)\}
D.
{(0,1)}\{(0,1)\}

2009 · 湖北 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=1−ax1+axy = \frac{1 - ax}{1 + ax}（x∈Rx \in \mathbf{R}，x≠−1ax \neq -\frac{1}{a}）的反函数是（ ）
A.
y=1−ax1+axy = \frac{1 - ax}{1 + ax}（x∈Rx \in \mathbf{R}，x≠−1ax \neq -\frac{1}{a}）
B.
y=1+ax1−axy = \frac{1 + ax}{1 - ax}（x∈Rx \in \mathbf{R}，x≠1ax \neq \frac{1}{a}）
C.
y=1+xa(1−x)y = \frac{1 + x}{a(1 - x)}（x∈Rx \in \mathbf{R}，x≠1x \neq 1）
D.
y=1−xa(1+x)y = \frac{1 - x}{a(1 + x)}（x∈Rx \in \mathbf{R}，x≠−1x \neq -1）

2009 · 湖北 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03复数★★☆☆☆
投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 mm 和 nn，则复数 (m+ni)(n−mi)(m + n\mathrm{i})(n - m\mathrm{i}) 为实数的概率为（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
14\frac{1}{4}
C.
16\frac{1}{6}
D.
112\frac{1}{12}

2009 · 湖北 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
函数 y=cos⁡(2x+π6)−2y = \cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) - 2 的图象 FF 按向量 a\boldsymbol{a} 平移到 F′F'，F′F' 的解析式 y=f(x)y = f(x)，当 y=f(x)y = f(x) 为奇函数时，向量 a\boldsymbol{a} 可以等于（ ）
A.
(−π6,−2)\left(-\frac{\pi}{6}, -2\right)
B.
(−π6,2)\left(-\frac{\pi}{6}, 2\right)
C.
(π6,−2)\left(\frac{\pi}{6}, -2\right)
D.
(π6,2)\left(\frac{\pi}{6}, 2\right)

2009 · 湖北 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★★☆☆
将甲，乙，丙，丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲，乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（ ）
A.
1818
B.
2424
C.
3030
D.
3636

2009 · 湖北 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06计数原理与组合数学★★★☆☆
设 (22+x)2n=a0+a1x+a2x2+⋯+a2n−1x2n−1+a2nx2n\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + x\right)^{2n} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_{2n-1}x^{2n-1} + a_{2n}x^{2n}，则
lim⁡n→∞[(a0+a2+a4+⋯+a2n)2−(a1+a3+a5+⋯+a2n−1)2]=()\displaystyle\lim_{n\to \infty}\left[(a_0 + a_2 + a_4 + \cdots + a_{2n})^2 - (a_1 + a_3 + a_5 + \cdots + a_{2n-1})^2\right] = (\quad)
A.
−1-1
B.
00
C.
11
D.
22\frac{\sqrt{2}}{2}

2009 · 湖北 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★★☆☆
已知双曲线 x22−y22=1\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1 的准线过椭圆 x24+y2b2=1\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 的焦点，则直线 y=kx+2y=kx+2 与椭圆至多有一个交点的充要条件是（ ）
A.
k∈[−12,12]k \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]
B.
k∈(−∞,−12]∪[12,+∞)k \in \left(-\infty, -\frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, +\infty\right)
C.
k∈[−22,22]k \in \left[-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]
D.
k∈(−∞,−22]∪[22,+∞)k \in \left(-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty\right)

2009 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08不等式★★☆☆☆
在“家电下乡”活动中，某厂要将 100 台100\text{ 台}洗衣机运往邻近的乡镇，现有 4 辆4\text{ 辆}甲型货车和 8 辆8\text{ 辆}乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用 400 元400\text{ 元}，可装洗衣机 20 台20\text{ 台}；每辆乙型货车运输费用 300 元300\text{ 元}，可装洗衣机 10 台10\text{ 台}，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ）
A.
2000 元2000\text{ 元}
B.
2200 元2200\text{ 元}
C.
2400 元2400\text{ 元}
D.
2800 元2800\text{ 元}

2009 · 湖北 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09导数及其应用★★☆☆☆
设球的半径为时间 tt 的函数 R(t)R(t). 若球的体积以均匀速度 cc 增长，则球的表面积的增长速度与球半径（ ）
A.
成正比，比例系数为 cc
B.
成正比，比例系数为 2c2c
C.
成反比，比例系数为 cc
D.
成反比，比例系数为 2c2c

2009 · 湖北 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10数列★★☆☆☆
古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图1中的 11，33，66，1010，⋯\cdots，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，图2中的 11，44，99，16⋯16\cdots 这样的数称为正方形数. 下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
[c]{} [c]{}
A.
289289
B.
10241024
C.
12251225
D.
13781378

2009 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11不等式★★☆☆☆
已知关于 xx 的不等式 ax−1x+1<0\frac{ax - 1}{x + 1} < 0 的解集是 (−∞,−1)∪(−12,+∞)(-\infty, -1) \cup \left(-\frac{1}{2}, +\infty\right)，则 a=a =______.

2009 · 湖北 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12概率与统计★★☆☆☆
样本容量为 200200 的频率分布直方图. 根据样本的频率分布直方图估计，样本数据在 [6,10)[6, 10) 内的频数为______，数据落在 [2,10)[2, 10) 内的概率约为______.

2009 · 湖北 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13立体几何初步★★★☆☆
卫星和地面之间的电视信号沿直线传输，电视信号能够传送到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区域. 为了转播 2008 年北京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为 36000 km36000\mathrm{~km}. 已知地球半径约为 6400 km6400\mathrm{~km}，则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为______km\mathrm{km}.（结果中保留反余弦的符号）

2009 · 湖北 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14导数及其应用★★☆☆☆
已知函数 f(x)=f′(π4)cos⁡x+sin⁡xf(x) = f'\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos x + \sin x，则 f(π4)f\left(\frac{\pi}{4}\right) 的值为______.

2009 · 湖北 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足：a1=ma_1 = m（mm 为正整数），
an+1={an2,当 an 为偶数时,3an+1,当 an 为奇数时.a_{n+1} = \begin{cases} \frac{a_n}{2}, & \text{当 } a_n \text{ 为偶数时},\\ 3a_n + 1, & \text{当 } a_n \text{ 为奇数时}. \end{cases}
若 a6=1a_6 = 1，则 mm 所有可能的取值为______.

2009 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16概率与统计★★☆☆☆
一个盒子里装有 4 张4\text{ 张}大小形状完全相同的卡片，分别标有数 22，33，44，55；另一个盒子里也装有 4 张4\text{ 张}大小形状完全相同的卡片，分别标有数 33，44，55，66. 现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为 xx；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为 yy，记随机变量 η=x+y\eta = x + y，求 η\eta 的分布列和数学期望.

2009 · 湖北 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(cos⁡α,sin⁡α)\boldsymbol{a} = (\cos \alpha, \sin \alpha)，b=(cos⁡β,sin⁡β)\boldsymbol{b} = (\cos \beta, \sin \beta)，c=(−1,0)\boldsymbol{c} = (-1, 0).
(1) 求向量 b+c\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c} 的长度的最大值； (2) 设 α=π4\alpha = \frac{\pi}{4}，且 a⊥(b+c)\boldsymbol{a} \perp (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c})，求 cos⁡β\cos \beta 的值.

2009 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 S−ABCDS-ABCD 的底面是正方形，SD⊥SD \perp 平面 ABCDABCD，SD=2aSD = 2a，AD=2aAD = \sqrt{2}a，点 EE 是 SDSD 上的点，且 DE=λaDE = \lambda a（0<λ⩽20 < \lambda \leqslant 2）.
(1) 求证：对任意的 λ∈(0,2]\lambda \in (0,2]，都有 AC⊥BEAC \perp BE； (2) 设二面角 C−AE−DC-AE-D 的大小为 θ\theta. 直线 BEBE 与平面 ABCDABCD 所成的角为 φ\varphi. 若 tan⁡θ⋅tan⁡φ=1\tan \theta \cdot \tan \varphi = 1，求 λ\lambda 的值.

2009 · 湖北 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
已知 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 Sn=−an−(12)n−1+2S_{n} = -a_{n} - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 2（nn 为正整数）.
(1) 令 bn=2nanb_{n} = 2^{n}a_{n}，求证数列 {bn}\{b_{n}\} 是等差数列，并求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 令 cn=n+1nanc_{n} = \frac{n + 1}{n} a_{n}，Tn=c1+c2+⋯+cnT_{n} = c_{1} + c_{2} + \cdots + c_{n}，试比较 TnT_{n} 与 5n2n+1\frac{5n}{2n + 1} 的大小，并予以证明.

2009 · 湖北 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
过抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px（p>0p > 0）的对称轴上一点 A(a,0)A(a,0)（a>0a > 0）的直线与抛物线相交于 MM，NN 两点，自 MM，NN 向直线 ll：x=−ax = -a 作垂线，垂足分别为 M1M_{1}，N1N_{1}.
(1) 当 a=p2a = \frac{p}{2} 时，求证： AM1⊥AN1AM_{1} \perp AN_{1}； (2) 记 △AMM1\triangle AMM_{1}，△AM1N1\triangle AM_{1}N_{1}，△ANN1\triangle ANN_{1} 的面积分别为 S1S_{1}，S2S_{2}，S3S_{3}，是否存在 λ\lambda，使得对任意的 a>0a > 0，都有 S22=λS1S3S_{2}^{2} = \lambda S_{1}S_{3} 成立. 若存在，求出 λ\lambda 的值；若不存在，说明理由.

2009 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
在 R\mathbf{R} 上定义运算 ⊗\otimes： p⊗q=−13(p−c)(q−b)+4bcp \otimes q = -\frac{1}{3}(p - c)(q - b) + 4bc（pp，qq 为实常数）. 记 f1(x)=x2−2cf_1(x) = x^{2} - 2c，f2(x)=x−2bf_2(x) = x - 2b，x∈Rx \in \mathbf{R}. 令 f(x)=f1(x)⊗f2(x)f(x) = f_1(x) \otimes f_2(x).
(1) 如果函数 f(x)f(x) 在 x=1x = 1 处有极值 −43-\frac{4}{3}，试确定 bb，cc 的值； (2) 求曲线 y=f(x)y = f(x) 上斜率为 cc 的切线与该曲线的公共点； (3) 记 g(x)=∣f′(x)∣g(x) = |f'(x)|（−1⩽x⩽1-1 \leqslant x \leqslant 1）的最大值为 MM. 若 M⩾kM \geqslant k 对任意的 bb，cc 恒成立，试求 kk 的最大值.

2009 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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