设三棱锥 $S-ABC$ 的底面为等腰直角三角形，已知该直角三角形的斜边 $AC$ 长为 $10$. 三棱锥的侧棱 $SA=SB=SC=13$. 求：

(1) 顶点 $S$ 到底面的距离； (2) 侧棱 $SB$ 与底面所成角的大小（用反三角函数表示）； (3) 二面角 $A-SB-C$ 的大小（用反三角函数表示）.

设 $A(x_1,y_1)$ 为椭圆 $x^2+2y^2=2$ 上的任意一点，过点 $A$ 作一条斜率为 $-\frac{x_1}{2y_1}$ 的直线 $l$. 又设 $d$ 为原点到直线 $l$ 的距离，$r_1$，$r_2$ 分别为点 $A$ 到椭圆两焦点的距离. 试证明 $\sqrt{r_1r_2}\cdot d$ 是常数.

在 $xOy$ 平面上给定一曲线 $y^2=2x$.

(1) 设点 $A$ 的坐标为 $\left(\frac{2}{3},0\right)$. 求曲线上距点 $A$ 最近的点 $P$ 的坐标及相应的距离 $|PA|$. (2) 设点 $A$ 的坐标为 $(a,0)$，$a\in\mathbf{R}$. 求曲线上点到点 $A$ 的距离的最小值，并写出 $d=f(a)$ 的函数表达式.

设复平面上有一系列向量 $\overrightarrow{OZ_n}$（$n=0$，$1$，$2$，$\dots$）满足如下关系：将 $\overrightarrow{OZ_n}$ 按逆时针方向旋转 $\frac{3}{4}\pi$ 后，再把它的模变为原来的一半，得到 $\overrightarrow{OZ_{n+1}}$. 记 $\overrightarrow{OZ_n}$ 所对应的复数为 $z_n$（$n=0$，$1$，$2$，$\dots$），并设这一变换所对应的复数为 $z$. 若 $z_0=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}\mathrm{i}$，其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位，求：

(1) $z$； (2) $n$ 为何值时，$z_n$ 为实数？将所有等于实数的 $z_n$ 按原有次序排成数列 $\{a_n\}$，写出该数列的通项公式； (3) $\displaystyle\lim_{k\to\infty}\left(a_1+a_2+\cdots+a_k\right)$.