已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上且周期为 3 的函数，当 $x \in [0,3)$ 时，$f(x) = \left|x^2 - 2x + \frac{1}{2}\right|$，若函数 $y = f(x) - a$ 在区间 $[-3,4]$ 上有 10 个零点（互不相同），则实数 $a$ 的取值范围是______.

若 $\triangle ABC$ 的内角满足 $\sin A + \sqrt{2}\sin B = 2\sin C$，则 $\cos C$ 的最小值是______.

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$F_{1}$，$F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左，右焦点. 顶点 $B$ 的坐标为 $(0, b)$. 连接 $BF_{2}$ 并延长交椭圆于点 $A$，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于另一点 $C$，连接 $F_{1}C$.

(1) 若点 $C$ 的坐标为 $\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right)$，且 $B F_{2} = \sqrt{2}$，求椭圆的方程； (2) 若 $F_{1}C \perp AB$，求椭圆离心率 $e$ 的值.

如图，为了保护河上古桥 $OA$，规划建一座新桥 $BC$，同时设立一个圆形保护区. 规划要求：新桥 $BC$ 与河岸 $AB$ 垂直；保护区的边界为圆心 $M$ 在线段 $OA$ 上并与 $BC$ 相切的圆，且古桥两端 $O$ 和 $A$ 到该圆上任意一点的距离均不少于 $80 \mathrm{~m}$. 经测量，点 $A$ 位于点 $O$ 正北方向 $60 \mathrm{~m}$ 处，点 $C$ 位于点 $O$ 正东方向 $170 \mathrm{~m}$ 处 （$OC$ 为河岸）， $\tan \angle BCO = \frac{4}{3}$.

(1) 求新桥 $BC$ 的长； (2) 当 $OM$ 多长时，圆形保护区的面积最大？

已知函数 $f_{0}(x) = \frac{\sin x}{x}$ （$x > 0$），设 $f_{n}(x)$ 为 $f_{n-1}(x)$ 的导数，$n \in \mathbf{N}^{*}$.

(1) 求 $2f_{1}\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2}f_{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 的值； (2) 证明：对任意的 $n \in \mathbf{N}^{*}$，等式 $\left|n f_{n-1}\left(\frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{4}f_{n}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right| = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 都成立.